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Stammfunktion mit Substitution 1/x^2+bx+c

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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dxvxdfx

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10:30 Uhr, 08.05.2024

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Hallo,

Ich muss das Integral

\int

1/(x^2+bx+c)

d x

mit der Substitution

φ (t) = \sqrt{Δ} t - \frac{b}{2}

mit

Δ := c - \frac{b^{2}}{4} > 0,

lösen, komme aber nicht wirklich vorran.
Außerdem frage ich mich warum man genau diese Substitution benutzen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

pivot

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10:53 Uhr, 08.05.2024

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Hallo,

wird jetzt

x

durch

φ

oder

t

substituiert?
Ich sehe bei der Substitution die Verbindung zu

x

nicht.

Gruß
pivot

Antwort

KL700

KL700 aktiv_icon

10:55 Uhr, 08.05.2024

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Hier kannst du den Lösungsweg mitverfolgen:

www.integralrechner.de

Antwort

HAL9000

11:14 Uhr, 08.05.2024

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Anscheinend ist die lineare Substitution

x = φ (t)

gemeint mit der Intention, das ganze in das Integral

\int \frac{d t}{t^{2} + 1}

zu überführen (Vorfaktor mal weggelassen).

Antwort

Mathe45

11:23 Uhr, 08.05.2024

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Forme mittels quadratischer Ergänzung um.

\frac{1}{x^{2} + b \cdot x + c} = . .

.

= \frac{\frac{1}{c - \frac{b^{2}}{4}}}{1 + {(\frac{x + \frac{b}{2}}{\sqrt{c - \frac{b^{2}}{4}}})}^{2}}

dxvxdfx

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11:23 Uhr, 08.05.2024

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(\int f (x) d x) \circ ϕ = \int f (ϕ (t)) \cdot ϕ ʹ (t) d t .

Ich denke es ist so gemeint mit dem

φ

aber bin selbst verwirrt.

Antwort

Mathe45

12:27 Uhr, 08.05.2024

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Weiter etwa so:
Aus obiger Umformung folgt die Substitution

t = \frac{2 \cdot x + b}{\sqrt{4 \cdot c - b^{2}}}

und daraus

d x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot c - b^{2}} d t

\Rightarrow

\int . .

.

d x = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot c - b^{2}}} \cdot a r c t a n (\frac{2 \cdot x + b}{\sqrt{4 \cdot c - b^{2}}})

(+ C)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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