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Stammfunktion von 1/sin(x)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Stammfunktion

Nick-Cave aktiv_icon

20:35 Uhr, 23.03.2014

Hallo zusammen,

Ich habe hier ein Integral, das ich berechnen muss, falls es überhaupt existiert. Es lautet:

\int \frac{1}{s i n (x)}

Ich hatte die Überlegung einfach zu substituieren, aber ich bekomme nicht das richtige Ergebnis raus. Mein Rechenweg:

\int \frac{1}{s i n (x)}

u = s i n (x)

\frac{d u}{d x} = c o s (x)

d x = \frac{d u}{c o s (x)}

d u = c o s (x)

\int \frac{1}{u} d u

[l n (u)] * d u

Nun will ich rücksubstituieren und erhalte:

l n (c o s (x)) * c o s (x) d x

Nun weiß ich nicht mehr weiter... Ich weiß nicht, was ich falsch mache. Die Lösung kenne ich auch, aber da ist die Rede von cos(x)+1 und cos(x)-1, was ich einfach nicht nachvollziehen kann.. Bitte helft mir!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

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rundblick aktiv_icon

21:26 Uhr, 23.03.2014

"
Ich habe hier ein Integral, das ich berechnen muss, falls es überhaupt existiert.
Es lautet:"

und da fängt dann gleich das Problem an: da du keinerlei Differential notiert hast
wird nicht ersichtlich , wie die Integrationsvariale heisst ..

möglicherweise willst du ja nicht

\to \int \frac{1}{sin (x)} \cdot

= \frac{1}{sin (x)} \cdot u + c

.. sondern eine Stammfunktion zu

\to

\int \frac{1}{sin (x)} \cdot d x

?

wenn ja

\to

1) \to

dieses Integral existiert ..

2) \to

Tipp : substituiere

u = tan (\frac{x}{2})

und mach das dann mit

d u

und mit

d x

richtig (also nicht so wie oben)

denn

\to

"und erhalte:

ln(cos(x))∗cos(x)dx

ist grausamer Unfug - hier ist zB das

d x

nun aber total daneben ..

Mathe45

23:56 Uhr, 23.03.2014

Wenn du den oben genannten Vorschlag verwenden möchtest

(u = tan (\frac{x}{2}))

Hier ein möglicher Lösungsweg:

\int \frac{1}{sin (x)} d x =

???

sin (x) = 2 \cdot sin (\frac{x}{2}) \cdot cos (\frac{x}{2}) = \frac{2 \cdot sin (\frac{x}{2}) \cdot {cos}^{2} (\frac{x}{2})}{cos (\frac{x}{2})} = 2 \cdot tan (\frac{x}{2}) \cdot {cos}^{2} (\frac{x}{2}) = 2 \cdot u \cdot {cos}^{2} (\frac{x}{2})

u = tan (\frac{x}{2}) \Rightarrow

= \frac{1}{{cos}^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} d x \Rightarrow d x = 2 \cdot {cos}^{2} (\frac{x}{2})

\int \frac{1}{sin (x)} d x = \int \frac{1}{2 \cdot u \cdot {cos}^{2} (\frac{x}{2})} \cdot 2 \cdot {cos}^{2} (\frac{x}{2})

= \int \frac{1}{u}

= ln (u) = ln (tan (\frac{x}{2}))

(...

. und natürlich

+ C)

rundblick aktiv_icon

09:24 Uhr, 24.03.2014

.
@ Mathe45 :

\to

ist ja toll, dass DU das so gut kannst..

ABER: lässt du als "Lehrer" deine Schüler auch gar nichts selbst machen ?

und ausserdem
wäre es angebracht, abzuwarten, ob der Typ überhaupt noch interessiert ist
und ob er zB über Differentiale und so nachdenken kann oder will

. .

Mathe45

10:23 Uhr, 24.03.2014

Noch eine Ergänzung zu meinem obigen Lösungsweg.
Obwohl das Beispiel sicherlich als "Übungsaufgabe" gedacht ist, sollte man das Argument des

ln

zwischen Betragstrichen setzen.

Nick-Cave aktiv_icon

21:04 Uhr, 24.03.2014

ich bedanke mich für eure Hilfe! Ich habe die Aufgabe gelöst bekommen. Das Problem war nur, dass ich mich viel zu wenig mit den Additionstheoremen beschäftigt habe... Ich habe mich selbstverständlich auch viel zu wenig mit der Integralrechnung beschäftigt, sodass man so eine Aufgabe mit dem Wissen, das ich zuvor hatte, niemals lösen könnte. Danke euch :-)

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