Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Stetigkeit im Ursprung und Beschränktheit

Stetigkeit im Ursprung und Beschränktheit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Beschränktheit, Stetigkeit, Ursprung

Olli23 aktiv_icon

16:22 Uhr, 31.05.2015

Hallo! Ich brauche mal ein bisschen Hilfe bezüglich der Beschränktheit bei folgender Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Stetigkeit im Ursprung

(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)

und auf Beschränktheit in einer Umgebung um den Ursprung:

f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{6} + y^{2}}, (x, y) \neq (0, 0); 0, (x, y) = (0, 0)

.

Zur Stetigkeit:
Ich habe mich an den Ursprung angenähert entlang der x-Achse, dann entlang der y-Achse und dann entlang einer beliebigen Geraden durch den Ursprung

(y = m x)

, aber ich habe immer 0 herausbekommen. Mit einer Annäherung an den Ursprung entlang der Parabellinie

y = x^{2}

habe ich das hier erhalten:

lim_{x \to 0} f (x, x^{2}) = lim_{x \to 0} \frac{x^{4}}{x^{6} + x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} = 1

Also ist f im Ursprung nicht stetig!

Aber wie mache ich das mit der Beschränktheit im Ursprung? Soll ich da einfach für ganz kleine -x und ganz kleine +x gucken?

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

17:05 Uhr, 31.05.2015

Scnheller als auf verschiedenen Wegen nach 0 laufen ist die Umgebung von 0 zu untersuchen mit

x = r \cdot cos (t) y = r \cdot sin (t)

dann sieht man dass je nach Winkel der GW

r

gegen 0 verschiedene Werte annehmen kann und wenn man

r

klein wählt bekommt man für manche

t

beliebig große Werte (kürze durch

r^{3})

Gruß ledum

Bummerang

17:13 Uhr, 31.05.2015

Hallo,

nachdem Du schon den Trick mit der Linie

y = x^{2}

gefunden hast, wirst Du Dich ärgern, nicht auf die Kurve

y = x^{3}

gekommen zu sein! Damit erhält man

\frac{1}{2 \cdot x}

und das ist für

x

gegen Null in beide Richtungen unbeschränkt!

Lardos aktiv_icon

18:05 Uhr, 31.05.2015

Hallo zusammen!
Da ich genau dieselbe Frage habe, heißt das jetzt, dass die Funktion unbeschränkt ist, weil

\frac{1}{2 x}

unbeschränkt ist? Genügt das schon um die Frage nach Beschränktheit in einer Umgebung um den Ursprung zu beantworten?

Bummerang

18:22 Uhr, 31.05.2015

Hallo,

es ist wie bei allen Beweisen: Man zeigt die Gültigkeit der Behauptung oder es genügt ein Gegenbeispiel zu finden! Beschränktheit heisst doch, dass es eine Schranke für alle Punkte der Umgebung gibt. Eine Teilmenge zu finden, deren Funktionswerte unbeschränkt sind, beweist doch, dass es keine solche Schranke geben kann!

Lardos aktiv_icon

19:22 Uhr, 31.05.2015

ok vielen Dank. Das "in der Umgebung untersuchen" hatte mich nur irritiert. Aber das die Funktion nicht beschränkt sein kann leuchtet ein!

Liebe Grüße
Luca

Olli23 aktiv_icon

23:29 Uhr, 31.05.2015

Alles klar. Vielen Dank!

1238135

1237931

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?