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Stochastik - Elfmeter Wahrscheinlichkeit

Schüler

Tags: Elfmeter, Trefferwahrscheinlichkeit, wie viele Schüsse für 10 Treffer

MarcoManzke aktiv_icon

07:54 Uhr, 08.05.2024

Du hast eine

22,2 %

Wahrscheinlichkeit einen Elfer ins Tor zu treffen. Wie viele Elfer musst du schießen damit du mit mindestens

95 %

Wahrscheinlichkeit

min

10

Elfer triffst?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

09:12 Uhr, 08.05.2024

Hallo,

die Ungleichung ist

\sum_{x = 10}^{n} (\binom{n}{x}) \cdot 0, 22 2^{x} \cdot 0, 77 8^{n - x} \geq 0, 95

Nachvollziehbar? Wie würdest du weiter vorgehen?

Drei Möglichkeiten:

1. Du gibst die Ungleichung in einen Rechner ein und lässt sie lösen.
2. Du setzt verschiedene Werte von

n

und schaust welches kleinste n diese Ungleichung erfüllt.
3. Du approximierst die Binomialverteilung durch die Normalverteilung und löst die Ungleichung nach n auf.

Gruß
pivot

KL700 aktiv_icon

09:16 Uhr, 08.05.2024

P (X \geq 10) = 1 - P (X \leq 9) \geq 0,95

1 - \sum_{0}^{9} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot {0,222}^{k} \cdot {0,778}^{n - k} \geq 0,95

Ich komme auf

n = 68

.

www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

HAL9000

09:40 Uhr, 08.05.2024

Ein klein wenig anderer Vorschlag: Im Rahmen eines Bernoulli-Experiments mit Einzelerfolgswahrscheinlichkeit

p

sei

Y

die zufällige Anzahl Versuche, bis man den

r

-ten Erfolg erzielt hat. Dann ist

Y

negativ binomialverteilt

N B (r, p)

, d.h. es ist

P (Y = n) = (\begin{array}{c} n - 1 \\ r - 1 \end{array}) \cdot p^{r} \cdot (1 - p)^{n - r}

für

n = r, r + 1, \dots

Du suchst hier nun für

Y \sim N B (10, 0.222)

das kleinste

k

mit

P (Y \leq k) \geq 0.95

.

Nun, das könnte man dadurch lösen, indem man einfach die Wahrscheinlichkeiten

P (Y = n)

beginnend mit

n = 10

aufsummiert bis zu einem

k

, wo erstmals in der Summe die 0.95 überschritten wird.

Dabei kann man rekursiv vorgehen, mit Start

P (Y = r) = p^{r}

sowie Iteration

P (Y = n) = \frac{(n - 1) (1 - p)}{n - r} \cdot P (Y = n - 1)

für

n > r

.

Damit kommt man auch zu

k = 68

.

P.S.: Modalwert von

Y

ist übrigens

⌈ \frac{r - 1}{p} ⌉

, im vorliegenden Fall

r = 10, p = 0.222

wäre das 41, d.h. das ist die wahrscheinlichste Position für den zehnten erfolgreichen Elfmeter. Ist hier aber nicht gefragt. ;-)

MarcoManzke aktiv_icon

10:25 Uhr, 08.05.2024

Ganz lieben Dank für all die Hinweise, das hat echt geholfen !

MarcoManzke aktiv_icon

10:28 Uhr, 08.05.2024

Nochmals ganz lieben Dank für all die Hinweise, das hat echt geholfen !
das war eine Frage Abi

2024,

bei der viel Unsicherheit herschte, wir hatten aber zum Glück
auch

68

raus... DANKE

HAL9000

11:08 Uhr, 08.05.2024

> das war eine Frage Abi 2024

Hmm, das läuft dann wohl doch auf Weg 3 von pivot zurück. Es sei denn, man hat einen TR zur Verfügung, wo man eine so kleine Iteration (wie oben von mir geschildert) programmieren kann - aber wohl eher nicht.

MarcoManzke aktiv_icon

14:25 Uhr, 09.05.2024

Danke an Alle

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