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Streckung einer Parabel

Schüler Berufsmaturitätsschule, 13. Klassenstufe

Tags: Parabel, Streckung

MickyTheMick aktiv_icon

22:38 Uhr, 25.05.2009

Hall

Ich bin gerade am Repetieren von Parabeln und Streckungen. In der Schule habe ich es schon nicht verstanden und jetzt stehe ich wieder an. Könnt ihr mir weiterhelfen?

Es geht darum:

$y = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 10$

"Strecken Sie die Parabel an der y- Achse mit dem Faktor 4 und berechnen Sie die Funktionsgleichung der gestreckten Parabel in der Grundform"

Ich weiss, bei der Streckung wird Faktor a verändert und irgendetwas mit Verschiebung (oder? Aber wirklich mehr weiss ich nicht. Kann mir jemand Schritt für Schritt weiterhelfen?

Danke und Gruss

Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Funktionsgraphen analysieren
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

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pleindespoir aktiv_icon

01:25 Uhr, 26.05.2009

Stauchung und Streckung [Bearbeiten]

Durch den Koeffizienten a wird die Stauchung bzw. Streckung der Parabel und die Art der Extremstelle ausgedrückt. Die Normalparabel wird durch den Faktor a \in \mathbb{R} gestreckt. Daraus ergeben sich die folgenden Möglichkeiten:

a > 1
Streckung bzgl. y-Achse
a = 1
Normalparabel
1 > a > 0
Stauchung bzgl. y-Achse
a = 0
Die Funktion ist keine Parabel sondern eine Konstante (bzw. unendlich stark gestaucht)
0 > a > -1
Stauchung bzgl. y-Achse, Spiegelung bzgl. x-Achse
a = -1
Spiegelung der Normalparabel bzgl. x-Achse
a < -1
Streckung bzgl. y-Achse, Spiegelung bzgl. x-Achse

Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)

MickyTheMick aktiv_icon

19:31 Uhr, 26.05.2009

Hallo

Ist diese Annahme richtig?

$a = \frac{1}{2}$ (in momentaner Parabel)

nun muss ich $\frac{1}{2}$ mal 4 rechnen um die neue, gestreckte Parabel zu erhalten? So einfach wird es nicht sein, oder?

Danke und Gruss

Tim

pleindespoir aktiv_icon

00:55 Uhr, 27.05.2009

Du hast recht, es ist nicht so einfach. Die Parabel ist jetzt zwar gestreckt ... aber der Scheitelpunkt ist weggewandert.

Offensichtlich müssen auch die anderen Koeffizienten b und c mit verändert werden. Du könntest z.B. nachsehen, wie der Scheitelpunkt einer Parabel von seinen Koeffizienten abhängt. Dann setzt du einmal den Scheitelpunkt fest laut Originalgleichung und schaust, wie die Koeffizienten beeinflusst werden, wenn a verdoppelt, vervierfacht, halbiert, geviertelt wird.

Die Scheitelpunktform findest du auch im wikipedia übrigens...

MF-2000 aktiv_icon

01:00 Uhr, 27.05.2009

die Grundform der Gleichung ist ganz einfach nur

ax^2+bx+c=y

also Multiplizierst du einfach die

\frac{1}{2}

mit 4. Das wars...

MF-2000 aktiv_icon

01:02 Uhr, 27.05.2009

Die Aufgabe lautet... Strecken sie die Parabel an der y-Achse...
D.

h

. Meinermeinung nach

y

bleibt unverändert und du sollst den Graphen ganz einfach bei a um 4 erweitern....

Der Scheitelpunkt bleibt also

MF-2000 aktiv_icon

01:09 Uhr, 27.05.2009

Okay, das war beides quatsch

pleindespoir aktiv_icon

01:34 Uhr, 27.05.2009

Noch ein Bild zur Demonstration, wie Streckung/Stauchung NICHT funktioniert:

Edddi aktiv_icon

07:00 Uhr, 27.05.2009

...grundsätzlich musst du für die Streckung einer BELIEBIGEN Funktion nichts weiter machen, als die Funktion mit dem Streckungsfaktor zu multiplizieren!!!

Wenn du also eine Funktion um den Faktor 4 entlang der Y-Achse strecken willst, dann einfach so:

f_{4} (x) = 4 \cdot f (x)

Also bei dir:

f_{4} (x) = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 10) = 2 \cdot x^{2} - 16 \cdot x + 40

...das war's schon, es geht aber auch über die Scheitelform:

f (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 10

= \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 8 \cdot x + 20)

= \frac{1}{2} \cdot ({(x - 4)}^{2} + 4)

Der Streckungsfaktor der verschobenen Standard-Parabel

{(x - 4)}^{2} + 4

ist wie man sieht 1/2....diesen nimmst du jetzt mal

4 .

Du erhälst als neuen Strckungsfaktor

\frac{1}{2} \cdot 4 = 2

Somit ist deinegestreckte Funktion:

f_{4} (x) = 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} + 4)

= 2 \cdot (x^{2} - 8 \cdot x + 20)

= 2 \cdot x^{2} - 16 \cdot x + 40

...also genau das gleiche Ergebnis!!

;-)

MickyTheMick aktiv_icon

10:45 Uhr, 27.05.2009

Hallo

Ich habe deine Lösung ins GeoGebro eingeben und die beiden Parabeln verglichen.

Mir fällt auf das der Schnittpunkt bei der Parabel massiv verschoben ist. Ist das Richtig, muss der Schnittpunkt nicht am selben Ort bleiben?

Entschuldigt die dumme Frage, aber ich weiss es nicht.

Danke und Gruss

Tim

Edddi aktiv_icon

11:53 Uhr, 27.05.2009

...das kommt auf die Auslegung deiner Frage an.

Wenn ich eine Funktion strecke....so strecke ich ALLE Funktionswerte....auch ein lokales Minimum wird gestreckt.

Sei

z . B

. 4 das lokale Minimum einer Parabel (Scheitelpunkt), so wird der Funktionswert 4 auch um einen jeweiligen Faktor

k

gestreckt...

Mithin ist der gestreckte Funktionswert eben

k \cdot 4 . .

. und somit verschiebt sich auch der Scheitelpunkt.

Wie gesagt, allgemein gilt:

f_{k} (x) = k \cdot f (x)

für die Streckung/Stauchung oder auch Spiegelung bei negativem

k

in Y-Richtung.
Hier wird bei der Spiegelung ja auch an der X-Achse gespiegelt, und nicht im Scheitelpunkt.

Für Fälle, in denen ich

z . B

. am Scheitelpunkt spiegeln oder strecken will, komm' ich um eine Anpassung (Verschiebung) nicht umhin.
Da bei einer Y-Streckung der X-Wert von lokalen Extremas erhalten bleibt, ist nur noch eine zusätzliche Verschiebung vorzunehmen.

Soll für dein Beispiel also der Ausgangspunkt der Streckung der Scheitelpunkt sein, so ist dieser auch zu bestimmen und dann in die Gleichung mit einzubeziehen:

f (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 4 x + 10

gestreckte Funktion:

f_{4} (x) = 2 \cdot x^{2} - 16 x + 40

lokales Minima bei

x_{M} = 4

daraus folgt eine Verschiebung des Minimas zu:

f_{4} (x_{M}) - f (x_{M}) = 2 \cdot x_{M}^{2} - 16 x_{M} + 40 - (\frac{1}{2} \cdot x_{M}^{2} - 4 x_{M} + 10)

= 2 \cdot x_{M}^{2} - 16 x_{M} + 40 - \frac{1}{2} \cdot x_{M}^{2} + 4 x_{M} - 10 = \frac{3}{2} \cdot x_{M}^{2} - 12 \cdot x_{M} + 30 = 24 - 48 + 30 = 6

diese Verschiebung ist dann in deinem Fall von der gestreckten Funktion ab zuziehen.

f_{4} (x) = 2 \cdot x^{2} - 16 x + 40 - (6) = 2 \cdot x^{2} - 16 x + 34

;-)

MickyTheMick aktiv_icon

16:11 Uhr, 27.05.2009

Danke - soweit nun klar.

Gruss

Tim

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