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Taylor Formel Abschätzung des Restgliedes

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

Jule2007 aktiv_icon

10:45 Uhr, 14.07.2009

Zeige durch Abschätzen des Restgliedes

R 2

für

0 \leq x \leq 0.25,

dass der Fehler bei der Approximation von
sqrt(1+x)durch

1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8}

kleiner als

0,001

ist.

Ich steh irgendwie auf dem Schlauch. Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

el holgazán aktiv_icon

13:37 Uhr, 14.07.2009

Abschätzungen der Taylor-Entwicklung werden durch das nächste Glied gemacht.
Siehe de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedformeln

Du musst also für

f^{(3)} (ξ)

das Maximum in

[0, 0.25]

finden und dann in das Restglied einsetzen - damit hast du deine Abschätzung.

pepe1 aktiv_icon

14:46 Uhr, 15.07.2009

\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + R_{2} (x)

0 \leq ξ (x) \leq x \leq \frac{1}{4}

R_{2} (x) = \frac{f^{3} (ξ (x))}{3!} \cdot x^{3} = \frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot {(1 + ξ (x))}^{- \frac{3}{2}} \cdot x^{3}

Mit

x^{3} \leq {(\frac{1}{4})}^{3}

und

{(1 + ξ (x))}^{- \frac{3}{2}} \leq 1

wegen

0 \leq ξ (x) \leq x \leq \frac{1}{4},

erhalten wir:

| R_{2} (x) | \leq \frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{10} = \frac{1}{1024} < \frac{1}{1000}

MfG

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