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Umkehrfunktion von x²+6x-1 berechnen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Quadratische Funktion, Umkehrfunktion

Aidee aktiv_icon

09:51 Uhr, 24.11.2011

Hallo,

ich habe die Funktion

f : ℝ \to ℝ_{f (x) \mapsto x ² + 6 x - 1}

gegeben. Daraus soll ich nun eine Umkehrfunktion berechnen, mit natürlicher Definitionsmenge und Wertebereich.

Ich fange an mit:

y = x^{2} + 6 x - 1

Nach einer quadratischen Ergänzung erhalte ich

y = x ² + 6 x + 3 ² - 3 ² - 1

y = (x + 3) ² - 10

y + 10 = (x + 3) ²

Nun muss ich die Wurzel ziehen. Daher schränke ich meinen Definitionsbereich auf

D = [- 3, \infty)

ein.

\sqrt{y + 10} + 3 = x

Nun habe ich meine Umkehrfunktion:

f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 10} + 3

Da eine negative Wurzel nicht berechent werden kann, muss ich den Definitionsbereich einschränken auf

D = [- 10, \infty)

. Allerdings ist er schon eingeschränkt auf

D = [- 3, \infty)

Daher erhalte ich

f^{⁻ 1} : [- 3, \infty) \to ℝ_{f^{- 1} (x) \mapsto \sqrt{x + 10} + 3}

Stimmt das denn so? Wenn ich nun

f^{- 1} (- 1)

berechne, erhalte ich 6. Muss das aber eigentlich nicht -6 sein? Wo liegt mein Denkfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
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ChakuZaa aktiv_icon

10:31 Uhr, 24.11.2011

y + 10 = {(x + 3)}^{2} |

Wurzel

\sqrt{y + 10} = x + 3 | - 3

\sqrt{y + 10} - 3 = x

Da müsste der Vorzeichenfehler liegen :-)

Außerdem kann das Ergebnis der Wurzel ja immer pos. als auch neg. sein, wenn du quadrierst (Bsp

: x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{9}

Daher müsstest du hier

\pm \sqrt{y + 10} = x + 3

schreiben.

Letztendlich erhälst du dann

f^{- 1} (x) = \pm \sqrt{x + 10} - 3

f^{- 1} (- 1) = \pm \sqrt{9} - 3

\Leftrightarrow + 3 - 3 = 0

\Leftrightarrow - 3 - 3 = - 6

Aidee aktiv_icon

11:12 Uhr, 24.11.2011

So etwas habe ich mir auch schon fast gedacht. Die eigenen Fehler findet man aber immer so schwer. ;-)

Ein Frage noch. Habe ich nun nicht das Problem, dass meine Umkehrfunktion keine Funktion (laut Definition) mehr ist? Schließlich weißt sie ja nun einem x zwei Werte, wegen der Wurzel, zu. Gibt es hierfür eine Lösung? Ich stehe gerade auf dem Schlauch.

DmitriJakov aktiv_icon

11:43 Uhr, 24.11.2011

Du hast eine Wurzelfunktion, die gegenüber der "Standardwurzel" um

10

Einheiten nach links und um 3 Einheiten nach ober verschoben ist, ihren "Scheitel" also im Punkt

S (- 10 | 3)

hat.

Die Einschränkung des Definitionsbereichs auf

[- 3; \infty]

ist

m . E

. unnötig, da

x

nicht mehr Teil der Definitionsmenge ist, sondern der Wertemenge. Einschränkungen der Definitionsmenge betreffen also nur

y

und sonst niemanden ;-)

Erst nach der Umbenennung ganz am Ende wird

x

wieder die Variable aus den Definitionsmenge. Und diese ist

ℝ

mit der Einschränkung

x \geq - 10

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