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Untergruppen der S5
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Index, Symmetrische Gruppe, Untergruppen
 
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Ich soll zeigen, dass die Gruppe S5 keine Untergruppen vom Index 3 oder 4 hat. Da ich mit den symmetrischen Gruppen auf Kriegsfuß stehe, wäre mir vermutlich schon mit dem Untergruppenverband der S5 geholfen, um mir einiges klar zu machen... Danke im Voraus! LG Mona |
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Der Untergruppenverband - das hiesse mit Kanonen auf Spatzen zu schießen. Angenommen wäre vom Index 3. Die Ordnung von selbst ist von vorneherein entweder 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5 oder Falls gilt, bleibt nur 3 oder 6 als Möglichkeit übrig, da gelten muss und somit die Ordnung von durch 3 teilbar sein muss. Es müsste also genau Elemente der Ordnung 3 oder 6 enthalten. Tatsächlich gibt es genau über der Ordnung 3 und über der Ordnung insgesamt also nur Kandidaten. Bei Index 4 kann man ähnlich argumentieren, muss aber etwas aufpassen, da 4 keine Primzahl ist Nachtrag: Man kann natürlich auch beide Fälle auf einmal erschlagen: operiert durch Linksmultiplikation auf den Linksnebenklassen. Da es nach Voraussetzung 3 bzw. 4 solche Nebenklassen gibt, bedeutet diese Operation einen Gruppenhomomorphismus bzw. . Der Kern muss insbesondere alle Elemente der Ordnung 5 enthalten! Die Elemente der Ordnung 5 erzeugen aber bereits die ganze alternierende Gruppe denn es ist beispielsweise |
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