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Vollständige Induktion

Schüler

Tags: Ungleichung

Jetty aktiv_icon

19:31 Uhr, 14.08.2013

Hallo leute ich stecke bei der folgenden Induktionsaufgabe fest :

Könnt ihr mir sagen wie ich den Bruch weiter nach oben abschätzen soll?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stephan4

21:30 Uhr, 14.08.2013

(Anmerkung: Der rechte Teil Deiner Ungleichung hat einen Klammerfehler in der Angabe. Die Klammern gehören weg!)

Vielleicht geht es so:
Wenn die Ungleichung stimmt, dann ist der Zuwachs links kleiner als der Zuwachs rechts.
Der Zuwachs links ist

\frac{2 n - 1}{2 n}

der Zuwachs rechts ist das, was da steht dividiert durch das, wenn man für

n

ein

n - 1

einsetzt, also

\frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} / \frac{1}{\sqrt{3 (n - 1) + 1}} = \sqrt{\frac{3 n + 2}{3 n + 1}}

Folgende Bedingung ist also zu prüfen:

\frac{2 n - 1}{2 n} \leq \sqrt{\frac{3 n + 2}{3 n + 1}}

Ausrechnen. Stimmt.

cassiopeia aktiv_icon

21:41 Uhr, 14.08.2013

Was ich an Jetty unmöglich finde: Er ist sehr wohl in der Lage, mit Latex zu schreiben, das hat er schon mehrfach bewiesen.

Trotzdem ist er meist zu faul, es zu tun.
Er krakelt da also etwas auf ein Blatt, nach dem Motto: Es reicht ja, wenn der Helfer sich die Mühe macht, alles schön ordentlich und lesbar aufzuschreiben.

: (

Aurel

21:43 Uhr, 14.08.2013

Annahme: Für

n \geq 1

gilt:

Π_{i = 1}^{n} \frac{2 i - 1}{2 i} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}}

Behauptung:

Π_{i = 1}^{n + 1} \frac{2 i - 1}{2 i} \leq \frac{1}{\sqrt{3 (n + 1) + 1}}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

Π_{i = 1}^{n + 1} \frac{2 i - 1}{2 i} = \frac{2 (n + 1) - 1}{2 (n + 1)} \cdot Π_{i = 1}^{n} \frac{2 i - 1}{2 i} ... ... ... ... ... . . (1)

weil gemäß Annahme

Π_{i = 1}^{n} \frac{2 i - 1}{2 i} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}}

ist wegen

(1)

Π_{i = 1}^{n + 1} \frac{2 i - 1}{2 i} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 (n + 1) - 1}{2 (n + 1)}

die Behauptung ist also wahr, wenn

\frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 (n + 1) - 1}{2 (n + 1)} \leq \frac{1}{\sqrt{3 (n + 1) + 1}}

löse diese Ungleichung durch Quadrieren und Klammern Ausmultiplizieren und überprüfe, ob sie für

n \geq 1

gültig ist

Jetty aktiv_icon

00:14 Uhr, 15.08.2013

Mein Ansatz:

\frac{4 \cdot {(n + 1)}^{2} - 1}{(3 n + 1) \cdot 4 \cdot {(n + 1)}^{2}} \leq \frac{1}{3 n + 4}

((3 n + 4) \cdot 4 \cdot {(n + 1)}^{2} - 1) \leq ((3 n + 1) \cdot 4 \cdot {(n + 1)}^{2})

Wie gehe ich weiter vor?

Aurel

02:34 Uhr, 15.08.2013

da hast du dich verrechnet

zunächst vereinfachen:

\frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 (n + 1) - 1}{2 (n + 1)} \leq \frac{1}{\sqrt{3 (n + 1) + 1}}

\Leftrightarrow

\frac{1}{\sqrt{3 n + 1}} \cdot \frac{2 n + 1}{2 n + 2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 n + 4}} \Leftrightarrow

\sqrt{3 n + 4} \cdot (2 n + 1) \leq \sqrt{3 n + 1} \cdot (2 n + 2) \Leftrightarrow

(3 n + 4) \cdot {(2 n + 1)}^{2} \leq (3 n + 1) \cdot {(2 n + 2)}^{2} \Leftrightarrow

(3 n + 4) \cdot (4 n^{2} + 4 n + 1) \leq (3 n + 1) \cdot (4 n^{2} + 8 n + 4) \Leftrightarrow

12 n^{3} + 12 n^{2} + 3 n + 16 n^{2} + 16 n + 4 \leq 12 n^{3} + 24 n^{2} + 12 n + 4 n^{2} + 8 n + 4 \Leftrightarrow

19 n \leq 20 n ... ... ... .

. wahre Aussage für

n \geq 1

Jetty aktiv_icon

09:03 Uhr, 15.08.2013

Danke leute

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