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Vollständiger Induktion mit Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Vollständige Induktion Ungleichung

FabianVu aktiv_icon

14:18 Uhr, 12.11.2015

Hey!

Ich tuhe mich grad etwas schwer mit einer Aufgabe mit vollständiger Induktion.

Aufgabenstellung:

Zeigen sie mittels vollständiger Induktion, dass

n! \leq {(\frac{n}{2})}^{n}

für jedes

n

aus den natürlichen Zahlen mit

n \geq 6

. Dabei wurde auch ein Tipp angegeben, nämlich, dass wir die Bernoulli-Ungleichung:

{(1 + h)}^{n} \geq 1 + n \cdot h

verwenden sollen. Nur ich kriege es nicht hin, die Bernoulli-Ungleichung angemessen anzuwenden.

Also der Induktionsanfang ist kein Problem. Doch beim Induktionsschluss stoße ich an folgende Stelle:

(n + 1)! \leq {(\frac{n}{2})}^{n + 1} + {(\frac{n}{2})}^{n + 1} + {(\frac{n}{2})}^{n}

. Dabei soll:

(n + 1)! \leq {(\frac{n}{2})}^{n + 1}

gezeigt werden, damit die Induktion erfüllt ist.

Mache ich es von der anderen Richtung bleiben ich an folgender Stelle hängen:

{(\frac{n}{2})}^{n + 1} \geq n! \cdot (\frac{n}{2})

. Dabei soll

{(\frac{n}{2})}^{n + 1} \geq (n + 1)!

rauskommen

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."