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Wie beweist man die Kettenregel

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Äquivalenzumformung, Differenzialrechnung, Kettenregel

 
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Siffkroete

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16:06 Uhr, 22.03.2016

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Hi Leute

In meinem Buch knapp unterhalb der Mitte auf Seite 225

books.google.ch/books?id=8Ma6BQAAQBAJ&pg=PA225&lpg=PA225&dq=daniel+grieser+kettenregel&source=bl&ots=s8HPNNTGE5&sig=iQOUkDe8xprfM_fy7Mu57nKhhCo&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjJsvKBwtTLAhXDiywKHYnTBN0Q6AEIJjAC#v=onepage&q&f=false

steht ein Satz den ich einfach nicht verstehe: "Teilt man nun durch x-x0 und betrachtet den Limes..." warum darf man plötzlich durch x-x0 teilen? Dieser Term kann doch 0 werden und dann ist es keine Äquivalenzumformung oder? Weiter oben hat man ja genau auf das Problem aufmerksam gemacht: "g(x) -g(x0) kann Null werden und mit Null dürfen wir nicht erweitern!". Und jetzt darf man plötzlich mit Null kürzen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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16:10 Uhr, 22.03.2016

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"Dieser Term kann doch 0 werden und dann ist es keine Äquivalenzumformung oder?"

Kann es nicht, denn in der Definition vom Grenzwert limxx0f(x) steht ausdrücklich, dass xx0 ist.
Siehe z.B. hier:
de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29 (0<x-p impliziert xp)

Siffkroete

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16:19 Uhr, 22.03.2016

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Danke für die Antwort, aber man teilt einen Term bei dem H so definiert wurde, dass x0 Null sein kann und g(x)-g(x0) kann auch Null sein in demselben Term, dann kann man doch nicht nur für den Nenner einen anderen Definitionsbereich wählen oder?
Antwort
DrBoogie

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16:29 Uhr, 22.03.2016

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Keine Ahnung, was Du sagen willst.
x0 kann Null werden, na und?

Du hast eine Gleichung, die immer erfüllt ist. Und dann teilst Du beide Seiten durch x-x0, das nicht Null sein kann (weil das in der Definition verboten ist). Wo ist das Problem?
Siffkroete

Siffkroete aktiv_icon

16:38 Uhr, 22.03.2016

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Ja aber dann müsste man H doch gar nicht für x0 definieren da das ja sowieso nie eintritt, denn wenn im Nenner x0 nicht NULL sein kann dann im Zähler auch nicht. Oben aber wird H auch für x0 definiert.
Antwort
DrBoogie

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16:40 Uhr, 22.03.2016

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Wenn Du genauer hinkuckst, dann siehst Du, dass da zuerst nur noch limxx0H(g(x)) steht. Wo H(g(x)) tatsächlich in x0 nicht definiert sein muss.
Aber da H(g(x)) stetig ist, gilt limxx0H(g(x))=H(g(x0)). Das ist dann einfach der nächste Schritt.
Frage beantwortet
Siffkroete

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16:44 Uhr, 22.03.2016

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Danke, jetzt weis ich zumindest auf welche Weise man das erklären kann obwohl ich doch noch etwas darüber meditieren muss.