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Winkelsumme im dreieck

Schüler Fachschulen, 7. Klassenstufe

Tags: Geometrie

 
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anonymous

anonymous

14:42 Uhr, 03.03.2007

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ich brauche zwei beweise über die winkelsumme im dreieck! einen habe ich, das ist der bekannt, wenn man eine parallele zu c durch C zeichnet und es mit dem gestreckten winkel und den wechselwinkeln beweist. aber wie wäre eine 2. möglichkeit?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Additionstheoreme
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anonymous

anonymous

23:32 Uhr, 04.03.2007

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Hallo,



berechnet werden soll ja die Innenwinkelsumme und nicht bewiesen werden, daß diese auch konstant ist, also:



Angenommen, die Innenwinkelsumme in einem Dreieck ist immer konstant!

Dann kannst Du in einem beliebigen Dreieck die Ecken ja so bezeichnen, daß der größte Winkel gamma ist und diese Ecke C heißt. Jetzt fällst Du von C das Lot auf die Strecke AB (weil gamma der größte Winkel ist, liegt der Fußpunkt des Lots zwischen A und B!). Das Dreieck ABC wird in zwei kleinere Dreiecke geteilt und der Winkel gamma in die Teilwinkel gamma_1 und gamma_2 (gamma_1 ist der Winkel, der mit alpha und einem rechten Winkel das eine Dreieck bildet und gamma_2 ist der Winkel, der mit beta und dem anderen rechten Winkel das andere Dreieck bildet). Es gilt:



gamma_1 + gamma_2 = gamma



Dann gilt, daß die gesuchte Innenwinkelkonstante K sich wie folgt bildet:



K = alpha + gamma_1 + 90°

K = beta + gamma_2 + 90°



Zusammen:



2*K = alpha + gamma_1 + 90° + beta + gamma_2 + 90°

2*K = alpa + beta + (gamma_1 + gamma_2) + 180°

2*K = alpha + beta + gamma + 180°



Da nun die Winkel des ursprünglichen Dreiecks ebenfalls in der Summe K ergeben, kann man diese letzte Gleichung auch schreiben:



2*K = K + 180° | -K

K = 180°



Wie gesagt, das ist nur der Beweis, daß die Innenwinkelsumme 180° beträgt, wenn man vorher bewiesen hat, daß die Innenwinkelsumme immer gleich, d.h. konstant ist.



Will (Muß?!) man beides beweisen, geht z.B. das hier:



Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC. Man verlängert die Dreiecksseiten über die Dreieckseckpunkte hinaus und "startet eine Reise" auf den Dreiecksseiten entlang, Startpunkt ist A, anfängliche Richtung ist die in Richtung B. Zunächst reist man geradeaus, bis man bei B ankommt. Dort muß man eine Linkskurve mit (180°-beta) fahren, um in Richtung C weiterzukommen. Bei C angelangt, muß man eine Linkskurve mit (180°-gamma) fahren, um zum Start- und Zielpunkt A zu gelangen. Am Punkt A muß man noch eine Linksdrehung um (180°-alpha) machen, um die Ausgangsposition einzunehmen. Während der gesamten Reise hat man jeden inneren Punkt dees Dreiecks genau einmal umkreist und da man genauso da steht wie zu beginn, hat man sich selbst dabei einmal um die eigene Achse gedreht (gebundene Rotation, wie beim Mond), man hat sich also 360° gedreht. An den Ecken hat man Teidrehungen durchgeführt, die in der Summe diese 360° ergeben müssen:



(180°-beta) + (180°-gamma) + (180°-alpha) = 360°

180° - beta + 180° - gamma + 180° - alpha = 360°

540° - (alpha + beta + gamma) = 360° | -360°

180° - (alpha + beta + gamma) = 0° | +(alpha + beta + gamma)

180° = alpha + beta + gamma
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