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duale Norm beweisen

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: duale Norm, eukklidische Norm, Norm, Skalarprodukt

Willy123 aktiv_icon

10:37 Uhr, 18.04.2024

Sei ∥ · ∥ eine Norm auf

R^{n}

und ∥ · ∥∗

: R^{n}

→

R

definiert durch
∥x∥∗

:= max {| x

y | : y

∈

R^{n}

mit ∥y∥

= 1}

Man nennt ∥ · ∥∗ die zu ∥ · ∥ duale Norm. Zeigen Sie:

a)

∥ · ∥∗ ist tatsächlich eine Norm.

b)

Wenn ∥ · ∥ die Maximumsnorm ist (also ∥ · ∥ = ∥ · ∥∞), dann ist ∥ · ∥∗ die Betragssummennorm
(also ∥ · ∥∗ = ∥ · ∥_1)

c)

Wenn ∥ · ∥ die euklidische Norm ist (also ∥ · ∥ = ∥ · ∥_2), dann ist auch ∥ · ∥∗ die euklidische Norm.
Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

d)

Für alle

y

∈

R^{n}

gilt ∥y∥∗∗ ≤ ∥y∥
Hinweis: Betrachten Sie max_(y:∥y∥=1) ∥y∥∗∗.

a)

habe ich schon, aber bei

b), c)

und

d)

weiß ich überhaupt nicht, wie ich das machen soll. Könnte mir da bitte jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

pwmeyer aktiv_icon

17:00 Uhr, 19.04.2024

Hallo,

Due willst also

| | x | |'

bestimmen (ich schreibe mal ' statt Stern). Sei also

x = (x_{1}, ..., x_{n})

.
Dazu musst Du das Maximum von allen Summen

| x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + . . + x_{n} y_{n} |

bestimmen, wobei

{| | y | |}_{\infty} = 1

ist. Das bedeutet zunächst, dass alle

| y_{i} | \leq 1

sind. Nutze dies, um die obige Summe nach oben abzuschätzen und zwar gerade durch

{| | x | |}_{1}

Jetzt könnte es sein, dass diese Abschätzung zu grob ist und das Maximum kleiner als

{| | x | |}_{1}

ist. Dazu wähle ein spezielles

y

mit

{| | y | |}_{\infty},

so dass

| x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + . . + x_{n} y_{n} | = | x_{1} | + | x_{2} | + . .

+ | x_{n} |

pwmeyer aktiv_icon

17:00 Uhr, 19.04.2024

Hallo,

Due willst also

| | x | |'

bestimmen (ich schreibe mal ' statt Stern). Sei also

x = (x_{1}, ..., x_{n})

.
Dazu musst Du das Maximum von allen Summen

| x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + . . + x_{n} y_{n} |

bestimmen, wobei

{| | y | |}_{\infty} = 1

ist. Das bedeutet zunächst, dass alle

| y_{i} | \leq 1

sind. Nutze dies, um die obige Summe nach oben abzuschätzen und zwar gerade durch

{| | x | |}_{1}

Jetzt könnte es sein, dass diese Abschätzung zu grob ist und das Maximum kleiner als

{| | x | |}_{1}

ist. Dazu wähle ein spezielles

y

mit

{| | y | |}_{\infty},

so dass

| x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + . . + x_{n} y_{n} | = | x_{1} | + | x_{2} | + . .

+ | x_{n} |

Willy123 aktiv_icon

09:16 Uhr, 20.04.2024

Danke, das hilft mir sehr weiter!
Ich habe jetzt auch so angefangen bei

c),

aber ich stecke fest

\frac{:}{}

bis jetzt habe ich:
Seien

x = (x 1, x 2, ...,

xn), y=(y1,y2,...yn).
ww: ∥y∥= sqrt(⟨y|y⟩), also sqrt(y1^2+...+yn^2)=1, also y1^2+...+yn^2=1
Durch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung weiß ich, dass ⟨x|y⟩^2 ≤ ⟨x|y⟩⟨x|y⟩, also dass (x1y1)^2+...+(xnyn)^2 ≤ (x1^2+...xn^2)(y1^2+...+yn^2)

Stimmt das soweit? Aber ich verstehe nicht, was mir diese Ungleichung jetzt bringt. Wie komme ich dazu, dass ∥x∥*=sqrt((x1y1)^2+...+(xnyn)^2)?

Und könnte mir auch noch jemand bei

d)

helfen?

pwmeyer aktiv_icon

10:57 Uhr, 20.04.2024

Hallo,

schreibe doch zunächst die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und die Folgerung richtig auf. Vielleich machst Du nur Schreibfehler beim Online-Schreiben, aber Mathematik braucht auch etwas Konzentration.
Jedenfalls, wenn Du das korrigiert hast, wende die Bedingung

| | y | | = 1

an.

Gruß pwm

Willy123 aktiv_icon

11:24 Uhr, 20.04.2024

Ach ja stimmt, es sollte ⟨x|y⟩^2 ≤ ⟨x|x⟩⟨y|y⟩. Der Rest, also (x1y1)^2+...+(xnyn)^2 ≤ (x1^2+...xn^2) (y1^2+...+yn^2), stimmt aber oder? Ich bin mir nämlich nicht ganz sicher ob ⟨x|y⟩^2=(x1y1)^2+...+(xnyn)^2 oder ⟨x|y⟩^2=((x1y1)+...+(xnyn))^2.

Willy123 aktiv_icon

11:28 Uhr, 20.04.2024

Achso nein, das ist ja auch Blödsinn. Ist ⟨x|x⟩⟨y|y⟩=sqrt((x1^2+...+xn^2)(y1^2+...+yn^2))? Ah jetzt hab ichs, danke!!

Willy123 aktiv_icon

11:32 Uhr, 20.04.2024

Also kann ich dann einfach sagen sqrt(y1^2+...+yn^2)=1, und dann bleibt sqrt(x1^2+...+xn^2) übrig, also genau die euklidische Norm?

pwmeyer aktiv_icon

19:02 Uhr, 20.04.2024

Falsch ist immer noch, dass Du schreibst (?)

{(x | y)}^{2} = {(x_{1} y_{1})}^{2} + . .

{(x_{n} y_{n})}^{2}

Wenn Du das korrigiert hast, hast Du gezeigt, dass

| | x | |' \leq | | x | |

Für die Gleichheit kannst Du den Spezialfall

y = x

betrachten.

Willy123 aktiv_icon

08:51 Uhr, 21.04.2024

Danke für deine geduldigen Antworten ;-)

Und bei

d) :

Ist dann ∥y∥∗∗

= max {| y

x | : x

∈

R^{n}

mit ∥x∥*

= 1}

? Oder wie kann ich das verstehen?

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