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lösen einer Rekursion bzgl. 2 Parameter

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Tags: Folgen, Funktionenfolgen, lösen von Rekursionen, Reihen, Rekursives Zählen

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11:13 Uhr, 22.11.2009

Hallo

Ich habe eine rekursiv definierte Funktion:
f(N,n) = f(N-n,n) + f(N-1,n-1) mit

N, n \in ℕ_{> 0}

.
Dabei ist f(N,1) = f(0,1) = f(n,n) = 1 ( Bem. f(0,0) = 1 )
und f(N,0) = 0 für N > 0
und für n > N ist f(N,n) = 0

Die brauche ich aber explizit, habe mich aber noch nie wirklich mit der Lösung von Rekusionen auseinandergestzt.

Ich habe versucht das ganze mit Erzeugendenfunktionen zu lösen
Zuerst die Rekursion bzgl. N:

f (N, n) z^{N} = f (N - n) z^{N} + f (N - 1, n - 1) z^{N} = z^{n} f (N - n, n) z^{N - n} + z f (N - 1, n - 1) z^{N - 1}

Die erzeugende Funktion ist also:

F_{n} (z) = \sum_{N = 0}^{\infty} f (N, n) z^{N}

= z^{n} \sum_{N = n}^{\infty} f (N, n) z^{N} + z \sum_{N = n - 1}^{\infty} f (N, n - 1) z^{N}

= z^{n} F_{n} (z) + z F_{n - 1} (z)

\Leftrightarrow F_{n} (z) = \frac{z}{1 - z^{n}} F_{n - 1} (z)

Wegen f(0,0)=1 und f(N,0) = 0 für N>0 ist

F_{0} (z) = f (0, 0) z^{0} +

( Rest alles 0 ) = 1

Wie zu erwarten bleibt die Rekursion nach n.
Ich hab das jetzt genauso versucht:

F_{n} (z) ζ^{k} = \frac{z}{1 - z^{n}} F_{n - 1} (z) ζ^{k} = \frac{z ζ}{1 - z^{n}} F_{n - 1} (z) ζ^{k - 1} \Leftrightarrow

G (ζ) = \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n} ζ^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z ζ}{1 - z^{n}} F_{n - 1} ζ^{n - 1} = ζ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z}{1 - z^{n}} F_{n - 1} ζ^{n - 1}

= ζ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z}{1 - z^{n + 1}} F_{n} ζ^{n}

Jetzt habe ich ein n in der Summe, und weiß nicht weiter.

hab ich da nen Denkfehler, oder geht so was vieleicht ganz anders.

Vielen Dank an alle, die sich dazu Gedanken machen.

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