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mit Dreispiegelungssatz beweisen
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Beweis, Dreispiegelungssatz, Mittelsenkrechte
 
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Hallo. Ich soll folgenden Satz beweisen: "In jedem Dreieck gehen die drei Mittelsenkrechten durch einen Punkt." Das ganze soll mit Hilfe des Dreispiegelungssatzes gemacht werden, der besagt, dass drei Spiegelungen hintereinander auseführt, wieder eine Spiegelung wird. (Vorrausgesetzt die drei Parallelen einen Schnittpunkt haben. Aber das ist ja hier der Fall.)
Nur was sagt mir das für den Beweis am Dreieck? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Denk dir ein Dreieck. Wir kümmern uns jetzt in Gedanken nur um den Punkt A. Stell dir vor der Punkt A wird an der Mittelsenkrechten von Seite (also Strecke AB) gespiegelt. Die Mittelsenkrechte stellt ja genau die Mitte der Seite dar und schneidet unter einem rechten Winkel (logisch - deshalb ja auch Mittelsenkrechte ;-)). Wo landet dann der Punkt A wenn er gespiegelt wird? . denk denk denk . genau! Direkt auf Punkt B. Nun liegt der Punkt A also auf und wir spiegeln in Gedanken an der Mittelsenkrechten der Strecke BC (also Seite . Nach der selben Argumentation wie oben, landet der Punkt A nun auf dem Punkt C. Das ganze nochmal mit der Mittelsenkrechten auf Seite und der Punkt A landet wieder genau an seinem Ausgangpunkt. Das selbe gilt logischerweise wenn wir mit oder angefangen hätten. Im Endeffekt hast du dreimal gespiegelt, jeweils an einer Mittelsenkrechten - und am Ende hast du exakt das Dreieck wieder, mit dem du gestartet bist. |
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Super, das stimt sogar in meiner Zeichnung ;-).
Nun frage ich mich noch wie ich das "mathematisch" beweise. (Muss ich es mathematisch beweisen?). Man kann ja sagen, dass die drei Spiegelungen an den jeweiligen Mittelsenkrechten, wieder eine Spiegelung ergeben, da die drei Geraden ja einen Schnittpunkt haben. Doch welche Eigenschaft hat denn die Spiegelung, die aus den drei Mittelachsenspiegelungen resultiert? An welche Achse spiegele ich denn da, wenn das Dreieck unverändert bleibt? |
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Kann mir noch jemand bei der Aufgabe helfen, denn ich glaube nicht, dass das Ergebnis ist. Ich muss ja irgendwie die letzte Spiegelung durch drei Spiegelungen ersetzen .. Jemand eine Idee?
PS: Gilt der Dreispiegelungssatz auch für Punkte, oder darf ich nur Achsen hintereinander spiegeln? |
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