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p-Normen, Konstante finden, Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Hammerman aktiv_icon

18:09 Uhr, 06.05.2024

seien

p, q \in ℝ

gegeben mit

1 \leq p < q < \infty

{| | x | |}_{p} := {(\sum_{k = 1}^{n} {| x_{k} |}^{p})}^{\frac{1}{p}}

Finden Sie eine Konstante

C > 0,

sodass

{| | x | |}_{p} \leq C {| | x | |}_{q}

für alle

x \in ℝ^{n}

gilt.
Hinweis: Hölder-Ungleichung

; \sum {| x_{k} |}^{p} = \sum ({| x_{k} |}^{p} \cdot 1)

Also wegen dem Hinweis hatte Ich schon die Idee, dass

\sum ({| x_{k} |}^{p} \cdot 1)

ja gerade das Skalarprodukt aus dem Vektor x(wobei alle komponenten hoch

p

genommen sind) und dem Vektor, welcher nur 1en enthält, ist. Dass man das irgendwie in der Hölder-ug verwenden kann, aber weiter kam Ich dann auch nicht...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:50 Uhr, 06.05.2024

Du bist auf dem richtigen Weg

Es ist nur zu beachten, dass die Aufgabe die Parameter

p

und

q

enthält und die Hölder-Ungleichung auch meist mit

p

und

q

formuliert wird.

Schreibe Dir also mal die Hölder-Ungleichung auf mit Parametern, sagen wir

s

und

t

. Wenn diese dann auf die Summe

\sum_{k = 1}^{n} {| x |}^{p} \cdot 1

an. Dann überlege, wie Du

s

wählen kannst, sodass

{| x |}^{q}

herauskommt

...

Hammerman aktiv_icon

12:32 Uhr, 07.05.2024

ein Problem ist, dass bei der Hölder-UG bei uns als vorraussetzung

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

ist.
Da in der Aufgabe aber

p

beliebig groß sein kann und

q

größer als

p

sein muss, geht das nicht immer auf...

HAL9000

12:36 Uhr, 07.05.2024

Lies dir den Beitrag von pwmeyer nochmal genau durch:

Es geht hier nicht darum, die Hölderungleichung für genau jene

p, q

aus der Aufgabenstellung anzuwenden, sondern für geeignet gewählte (!)

s, t

, welche

\frac{1}{s} + \frac{1}{t} = 1

erfüllen müssen.

Welches

s

muss man wohl wählen, damit stets

{({∣ x ∣}^{p})}^{s} = {∣ x ∣}^{q}

gilt? Erinnere dich mal an die Potenzregeln.

Noch konkreter: Hölder sagt

{∥ u v ∥}_{1} \leq {∥ u ∥}_{s} \cdot {∥ v ∥}_{t}

für

\frac{1}{s} + \frac{1}{t} = 1

.

Es gilt nun

u, v, s, t

so zu wählen, dass auf der linken Seite irgendwie

{∥ x ∥}_{p}

steht (ggfs. noch potenziert), und auf der rechten Seite in eben solcher Weise

{∥ x ∥}_{q}

.

Nun ist oben quasi schon verraten worden, dass dies mit

u = x^{p}

(komponentenweise und mit Betrag) sowie

v = 1

erreicht werden kann. Bleibt noch die Wahl passender

s, t

Hammerman aktiv_icon

13:03 Uhr, 07.05.2024

so sähe mein versuch aus: mit

\vec{x} = {(x_{1}^{p}, x_{2}^{p}, ...)}^{T}

und

\vec{1} = {(1,1, ...)}^{T}

gilt:

| | x | | = {(\sum_{k = 1}^{n} {| x_{k} |}^{p} \cdot 1)}^{\frac{1}{p}} = < \vec{x}, \vec{1} > \leq {({| | \vec{x} | |}_{p} \cdot {| | \vec{1} | |}_{a})}^{\frac{1}{p}} = {({(\sum_{k = 1}^{n} {| {\vec{x}}_{k} |}^{p})}^{\frac{1}{p}} \cdot {| | \vec{1} | |}_{a})}^{\frac{1}{p}}

mit a gegeben durch

\frac{1}{p} + \frac{1}{a} = 1

man könnte auch schreiben

x_{k}^{p},

statt

{\vec{x}}_{k} . .

.
aber was bringt mir das jetzt, jetzt habe Ich auf der rechten Seite weder ein

q

noch

| | x | |

irgendwo stehen

Hammerman aktiv_icon

13:04 Uhr, 07.05.2024

Ah ok, ja Ich glaube so kriege Ichs hin, setze mich nachher nochmal dran, danke euch beiden

HAL9000

13:06 Uhr, 07.05.2024

Ja, lass dir Zeit und durchdenke es in Ruhe - Schnellschüsse haben wir jetzt schon genug gehabt.

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