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Scheitel und Nullpunkt einer Parabel bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Nullstellen, Parabel, Quadratische Funktion, Scheitel

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bobsn

15:26 Uhr, 18.10.2012

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Hallo allerseits!

Kann mir jemand bitte bei folgendem Bsp. behilflich sein:

Bestimmten Sie jeweils den Scheitel der folgenden Parabeln durch Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat(!), berechnen Sie außerdem die Nullstellen und

. .

.

a) y = x^{2} - 6 x + 3

Bei den Nullstellen muss man ja nur in die allgemeine Quadratische Gleichung einsetzen, oder?

Wie berechnet man jetzt aber den Scheitel? Was ist mit Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat gemeint? Kann man es so berechnen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Scheitelpunkt#Herleitung_mittels_quadratischer_Erg.C3.A4nzung

Hier ein Bild wie es ein anderer gemacht hat, verstehe ich aber nicht ganz...

math2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Nullstellen
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Polynomdivision

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Allgemeine Sinusfunktion
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
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Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

15:52 Uhr, 18.10.2012

Antworten

Ja bei Wikipedia wurde das eben einmal allgemein durchgerechnet. Du kennst doch bestimmt

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

bzw.

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

. Damit kannst du dir überlegen wie du

x^{2} - 6 x

ergänzen musst, um es zu einem Quadrat zusammenfassen zu können. Du solltest dann erkennen, dass

x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}

gilt. Gegeben ist jetzt aber

y = x^{2} - 6 x + 3

. Das ist aber nicht weiter schlimm, wir schreiben das einfach um zu

y = x^{2} - 6 x + 9 - 6 = {(x - 3)}^{2} - 6

. Und daraus liest sich nun der Scheitelpunkt

S (3 | - 6)

ab.
Das könnte dir auch helfen: www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Quadratische-Ergaenzung

bobsn

17:35 Uhr, 18.10.2012

Antworten

Verstehe. Danke!
Nur bei

b)

verstehe ich nicht, wie aus

y = - x^{2} + 9 x - 14

y = - x^{2} + 9 x + {4,5}^{2}

wird.

math1

bobsn

22:38 Uhr, 18.10.2012

Antworten

Geht es nicht so?

y = - x^{2} + 9 x - 14

y = - 1 \cdot (x^{2} - 9 x + 14)

y = - 1 \cdot (x^{2} - 9 x + 14 + 6.25 - 6.25)

y = - 1 \cdot (x^{2} - 9 x + 20.25 - 6.25)

y = - 1 \cdot ({(x - 4.5)}^{2} - 6.25))

y = - {(x - 4.5)}^{2} + 6.25

Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

08:46 Uhr, 19.10.2012

Antworten

Das ist richtig.

Es gibt noch einen Weg. ( Ist aber nicht der verlangte Weg)

f (x) = - x^{2} + 9 x - 14

f

´

(x) = - 2 x + 9

- 2 x + 9 = 0

x = 4,5

und

y = - {(4,5)}^{2} + 9 \cdot 4,5 - 14 = 6,25

Zur Nullstellensuche:

Die Scheitelform

= 0

setzen:

- {(x - 4,5)}^{2} + 6,25 = 0

{(x - 4,5)}^{2} = 6,25 | \sqrt{}

x_{1} = 4,5 + 2,5 = 7

x_{2} = 4,5 - 2,5 = 2

Nur hier stimmt etwas nicht:

"Verstehe. Danke!
Nur bei

b)

verstehe ich nicht, wie aus

y =

−

x^{2} + 9 x

−

14

y =

−

x^{2} + 9 x + 4,52

wird."

mfG

Atlantik

Parabel

Frage beantwortet

bobsn

12:03 Uhr, 19.10.2012

Antworten

Vielen Dank für den Aufwand!!

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