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Hilfe bei Beweis (1+ 1/n)^n<3

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis

hello2y

10:26 Uhr, 01.11.2007

Aufgabe:

Wegen der Bernoulli-Ungleichung gilt(1+ 1/n)^n>= 2 für alle n Element der nat. Zahlen

Zeige, daß außerdem gilt: (1+ 1/n)^n<3 für alle n Element der nat. Zahlen

(Tip: Binomischer Lehrsatz, endliche geometrische Reihe)

Wie geht diese Aufgabe?

Bitte um Hilfe

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Paulus

17:43 Uhr, 01.11.2007

Hallo mgm321

folgende beiden Überlegungen solltest du mal machen, am Besten an Hand eines kleinen k:

Erstens: $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \leq \frac{n^{k}}{k!}$

Zweitens: $\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k - 1}}$

Ich denke, für euren Beweis dürft ihr das voraussetzen.

Damit ergibt sich nacheinander:

${(1 + \frac{1}{n})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) * \frac{1}{n^{k}} \leq \sum_{k = 0}^{n} \frac{n^{k}}{k!} * \frac{1}{n^{k}} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \leq \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}}$

Nun hast du rechts eine Geometrische Reihe, mit dem Grenzwert 3 für n gegen unendlich, womit der Beweis fertig ist. Sollte dir der Start mit k = 0 etwas suspekt vorkommen, dann kannst du noch die ersten beiden Glieder der Summe separat vor die Summe nehmen und den laufenden Index mit 2 starten:

${(1 + \frac{1}{n})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) * \frac{1}{n^{k}} = 2 + \sum_{k = 2}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) * \frac{1}{n^{k}} \leq 2 + \sum_{k = 2}^{n} \frac{n^{k}}{k!} * \frac{1}{n^{k}} = {2 + \sum}_{k = 2}^{n} \frac{1}{k!} \leq {2 + \sum}_{k = 2}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}}$

Alles klar?

Gruss

Paul

m-at-he

18:10 Uhr, 01.11.2007

Hallo Paulus,

ich glaube Du solltest die erste Ungleichung gleich herausnehmen, denn sie ist nicht das Gleiche wie die zweite:

1. Gleichung

SUMME(k=0 ; oo ; 1/2^(k-1))

= 1/2^(-1) + SUMME(k=1 ; oo ; 1/2^(k-1))

= 2 + SUMME(k=0 ; oo ; 1/2^k)

= 2 + 2

= 4

Diese Abschätzung ist viel zu grob und wie gesagt nicht das selbe wie die zweite Ungleichung und die Aussage, daß der Grenzwert 3 sei ist somit falsch!

Paulus

18:30 Uhr, 01.11.2007

Hallo

ja, ja, diese dummen Fehler.

@m-at-he: wieder einmal vielen Dank für den Hinweis. Ich glaube,bald, dass ich zu blöd für diese Forum bin. ;-)

Ich denke, mit der zweiten Form, also mit dem Index-start bei 2, sollte das aber stimmen. Und sonst ist es halt nur ein Gedankenanstoss, der aber sicher stimmt, denn R. Courant hat das in seinem Berühmten Buch "Vorlesungen über Dirrerential- und Integralrechnung" genau so gemacht, allerdings ohne Verwendung des Summenzeichens, womit sich die 2 vor (meiner) Summe automatisch ergeben hat.

Sorry für den Fehler.

Gruss

Paul

hello2y

19:41 Uhr, 01.11.2007

Vielen Dank für eure/deine Mühe.

Auf die Vorüberlegungen wäre ich zwar nicht gekommen, die hatten wir nämlich nicht.

Die Folgerungen habe ich aber nachvollzogen.

Bis zum nächsten Mal

Markus

hello2y

20:10 Uhr, 01.11.2007

Und hier haben wir schon das nächste Mal

Der Rest der Aufgabe:

b)

Zeige für alle n Element der natürlichen Zahlen mit n größer gleich 2:

produkt von k=1 bis n-1 von(1+1/k)^k = n^n/n!

c)

Folgere aus a und b:

3*(n/3)^n kleier gleich n! kleiner gleich 2*(n/2)^n

für alle n Element der natürlichen Zahlen.

Probier es jetzt erst mal selber.

Aber falls ich es nicht hin bekomme, freue ich mich über deine/ eure Hilfe.

m-at-he

22:58 Uhr, 01.11.2007

Hallo,

das ist schon wesentlich weniger aufwendig:

b)

Zeige für alle n Element der natürlichen Zahlen mit n größer gleich 2:

PRODUKT(k=1 ; n-1 ; (1+1/k)^k) = n^n/n!

Durch Induktion, Induktionsanfang und den anderen Schmus überlaß ich Dir und konzentriere mich allein auf den Beweis der Induktionsbehauptung:

PRODUKT(k=1 ; n ; (1+1/k)^k)

= PRODUKT(k=1 ; n-1 ; (1+1/k)^k) * (1 + 1/n)^n

= n^n/n! * ((n+1)/n)^n

= n^n/n! * (n+1)^n/n^n

= (n+1)^n/n!

= (n+1)^n/n! * (n+1)/(n+1)

= (n+1)^(n+1)/(n+1)!

c)

Folgere aus a und b:

3*(n/3)^n kleier gleich n! kleiner gleich 2*(n/2)^n

für alle n Element der natürlichen Zahlen.

Es gilt:

3 * (n/3)^n

= 3 * n^n/3^n

= 3 * n^n/3^n * n!/n!

= 3/3^n * n^n/n! * n!

= 3/3^n * PRODUKT(k=1 ; n-1 ; (1+1/k)^k) * n!

<= 3/3^n * PRODUKT(k=1 ; n-1 ; 3) * n!

= 3/3^n * 3^(n-1) * n!

= n!

Analog zeigt man die andere Seite der Ungleichung, indem man statt der oberen Abschätzung der Faktoren jetzt die untere (=2) nimmt.

sally44 aktiv_icon

13:26 Uhr, 03.11.2007

hey, wie kommst du von 3/3^n * n^n/n! * n! auf

3/3^n * PRODUKT(k=1;n-1; (1 + 1/k)^k) n!???

m-at-he

13:50 Uhr, 03.11.2007

Hallo sally44,

ich finde es schön, daß Du Dir die Mühe machst meine Schritte nachzuvollziehen, aber wenn Du es tust, dann bitte ich Dich doch nicht bei der letzten Aufgabe anzufangen, sondern so wie man es gewöhnlich tut: am Anfang. Die Antwort auf Deine Frage ist sogar im selben Thread nur ein paar Zeilen weiter oben zu finden!

sally44 aktiv_icon

14:12 Uhr, 03.11.2007

upps entschuldigung, ich bin aber auch blöd :)

ich hatte die andern zwei aufgaben schon gerechnet und nicht mehr darauf geachtet

Feli2812 aktiv_icon

17:22 Uhr, 04.11.2007

Hey m-at-he,

also ich verstehe deine Lösung echt super zu der b. Bei der a hab ich bei euch nicht wirklich durchgeblickt :-), hab aber doch irgendwas raus bekommen...müsste so ungefähr stimmen..naja, aber ich versteh die c bei dir nicht wirklich... :-(

wie kommst du von PRODUKT(k=1,n-1;3) auf 3^n-1 und wie ist bei dir 3/3^n * 3^(n-1) *n!=n! gibt es da irgendeine Formel, weil müsste es sonst nicht umgeformt n!/3 =n! heißen? aber dann hätten wir es natürlich nicht gezeigt...oder hast du hier irgendwo abgeschätzt...*ahhh* ich verzweifel echt an diesem doofen matheblatt :-(( wäre lieb, wenn du mir meine wahrscheinlich dumme frage beantwortest:-)

lg

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