Schnittpunkte bestimmen

Schnittpunkte zwischen zwei beliebige Funktionen werden immer auf der selben Weise ermittelt.


Die Vorgehensweise

1) Funktionen gleich setzen

Durch das gleichsetzen der Funktionsvorschriften entsteht eine Gleichung. Die Lösung dieser Gleichung entspricht der x-Koordinate des Schnittpunktes (es können auch mehrere existieren).

2) Gleichung nach ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auflösen

3) y-Koordinate bestimmen

Man setzt die x-Werte, die man zuvor als Lösung der Gleichung gefunden hat, in eine der beiden Funktionsgleichungen ein. Man erhält dadurch den y-Wert des Schnittpunktes.



Beispiel

Gesucht sind die Schnittpunkte zwischen der Parabel [mehr dazu] ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1 }$ und der Geraden ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}$.

1) ${\displaystyle }$ Funktionen gleich setzen: ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}$

2) ${\displaystyle }$ Gleichung nach ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auflösen:

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2=0}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3=0}$

${\displaystyle }$ pq-Formel ${\displaystyle \Rightarrow {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{1,2}}=-(-\frac{4}{2})\pm \sqrt{{(-\frac{4}{2})}^2-3}=2\pm 1}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1 }$ und ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=3 }$ sind die x-Koordinaten der zwei Schnittpunkte.


3) ${\displaystyle }$ y-Koordinate bestimmen:

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$ in Geradengleichung einsetzen: ${\displaystyle {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1-2=-1}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$ in Geradengleichung einsetzen: ${\displaystyle {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=3-2=1}$


${\displaystyle \Rightarrow }$ Die gesuchten Schnittpunkte sind ${\displaystyle {\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1(1|-1) }$ und ${\displaystyle {\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\left(3|1\right)}$