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noch mal Häufungspunkte ;)
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 19:22 Uhr, 23.11.2003  |
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Ich sitze gerade an dieser aufgabe: "Bestimme eine reelle Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Menge der Häufungspunkte gerade N ist." Wie funktioniert das? Wahrscheinlich ist das ganz einfach, aber bei Häufungspunkten stehe ich irgendwie immer voll auf dem Schlauch (>_<) |
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Naja, ganz einfach, ich würde das so konstruieren: 1, 1,2, 1,2,3, 1,2,3,4, 1,2,3,4,5, 1,2,3,4,5,6... Also: a(1):=1, a(2):=1, a(3):=2, a(4):=1, a(5):=2, a(6):=3 a(7):=1, a(8):=2, a(9):=3, a(10):=4.... Jetzt kommt nur der schwierigste Teil, an dem ich auch scheitere: Wie kann man diese Folge (rekursiv?) definieren? Also es gilt: a(i)=1, falls i=1 oder i=1+{1+2+3+4+5...) a(i)=2, falls i=1+2 oder i=1+2+(2+3+4+5+6...) a(i)=3, falls i=6 oder i=1+2+3+(3+4+5+6...) Also anscheinend: a(i)=n für alle i, die sich darstellen lassen als (Summe über Zahlen 1 bis n) +(Summe über Zahlen von n bis andere endliche Zahl >=n), wobei das n die Werte von 1 bis unendlich durchläuft. Dann gilt z.B.: a(i)=5 für i=(1+2+3+4+5)=15, i=(1+2+3+4+5)+5=20, i=(1+2+3+4+5)+5+6=26... Aber eine "schönere" Schreibweise fällt mir nicht ein. Etwas mathematischer formuliert: Es gilt: a(i):=n, falls es ein k aus IN0=IN vereinigt mit {0} gibt, so dass i=(1+2+3+...+n)+[Summe(z=n bis n+k-1) {z}] (sofern ich mich nicht irre!!!) Aber ich denke, an dem Schema oben sieht man besser, warum jede natürliche Zahl unendlich mal als Folgeglied vorkommt und somit Häufungspunkt ist! Viele Grüße Marcel |
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Sorry, da war ich doch zu vorschnell: Die Folge 1,1,1,1,1,1... hat keine Häufungspunkte, und damit stimmt die Behauptung (die ich in einem anderen Thread an einer anderen Stelle mal gemacht habe), dass jeder Grenzwert auch HP ist, nicht. Bei Häufungspunkten gibt es einen entscheidenden Unterschied: x ist Häufungspunkt von M, falls für alle e>0 gilt: es gibt y aus M, y ungleich x (!!!) mit d(x,y)<e. Aber man kann anhand des Schemas dch was konstruieren: 1, 1+(1/2), 2+(1/2) 1+(1/3), 2+(1/3), 3+(1/3), 1+(1/4), 2+(1/4), 3+(1/4), 4+(1/4), 1+(1/5), 2+(1/5), 3+(1/5), 4+(1/5), 5+(1/5), ............................................ ............................................. .............................................. Wenn ich mich nun nicht wieder täusche, sollte es damit klappen. Viele Grüße Marcel PS: Häufungspunkte verwirren mich auch ein wenig... ;-)) |
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Danke für die Hilfe, so ähnlich hatte ich mir das auch gedacht, aber das erschien mir irgendwie zu einfach *g* Ich denke, das mit den Häufungspunkten werd ich nie so ganz verstehen *seufz* |
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Hallo nochmal, ich hab heute, als ich die Aufgabe jemandem gezeigt habe, (wieder ;-))erfahren, dass man unterscheidet: HP einer Menge: H ist HP einer Menge M genau dann wenn: für alle e>0: es existiert ein m aus M, m ungleich H mit d(H,m) < e (beachte: es wird nicht(!!!) gefordert: H aus M). Das bedeutet aber: In jeder (noch so kleinen) Umgebung um H gibt es stets unendlich viele Punkte von M. Deswegen auch Häufungspunkt. Bei einer Folge sagt man: h ist HP der Folge (an)n aus IN, wenn: Für alle e>0 und für alle N aus IN: es gibt n>N mit |a(n)-h|<e. Hierbei wird nicht gefordert, dass "dieses a(n)" von h verschieden ist. Also: 1 12 123 1234 12345 123456 erfüllt doch(!!!) alle Bedingungen. Die Folge ist "natürlich", also insbesondere "reell". Jede natürlich Zahl wird aufgezählt (da oo viele Spalten), eine (beliebige) feste natürliche Zahl kommt "unendlich mal" vor (jede Spalte hat oo viele Zeilen). Es tut mir leid, aber ich hatte diese Unterscheidung vergessen, und dachte, dass man bei einer Folge auch die "Ungleichheit" der Folgeglieder fordert. Allerdings ist die zweite "Definition" der Folge auf jeden Fall auch richtig. Jedoch musst du das nicht so kompliziert betrachten... Viele Grüße Marcel |
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ja, ja die Häufungspunkte. Wenn man sich an die Definition mit der Epsilontechnik hält, dann sieht man, dass der Häufungswert auch angenommen werden darf. Somit hat die Folge sin(n/2*pi) auch die 3 Häufungspunkte, die sie zu haben hat. Matthias |
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