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Unterschied glm. Stetigkeit <-> "normale" Stetigkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 18:02 Uhr, 26.03.2004  |
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Hallo, mir ist der Unterschied zwischen gleichmässiger und "normaler" Stetigkeit von Funktionen nicht klar. Überall heisst es nur, dass bei glm. Stetigkeit das Delta nicht von x0 abhängt und dies eine sehr viel stärkere Forderung sei. Doch mit dieser Begründung, oder wie die überhaupt zustande kommt, da die Definitionen doch recht gleich aussehen, kann ich nicht viel anfangen. Da die Prüfung nächste Woche mündlich ist, wäre mir eine "umgangssprachliche" Antwort ganz recht ;) DANKE! Gruß, Tobias |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Hallo, ehrlich gesagt, sehe ich jetzt auch nicht, wie man das besser formulieren könnte. Naja, ich versuch's trotzdem mal: (I) Bei der gleichmäßigen Stetigkeit muss nur der Abstand zweier (beliebiger) Werte x,y kleiner als das Delta=Delta(Epsilon) sein (also: x,y aus M beliebig mit |y-x| < Delta=Delta(Epsilon)), dann folgt: |f(x)-f(y)| < Epsilon. (II) Bei der Stetigkeit in einem festen Punkt x_0 gilt dann für alle y mit |y-x_0| < Delta=Delta(Epsilon,x_0): |f(x_0)-f(y)| < Epsilon. (evtl. muss man halt (oben in (I),(II)) andere Metriken betrachten, ich weiß jetzt nicht, ob du nur von reellwertigen Funktionen von reellen Variablen sprichst, aber obiges gilt natürlich in dieser Formulierung erstmal für solche; dem Zielbereich und dem Definitionsbereich können andere Metriken zugrunde liegen) (*) Jede glm. stetige Funktion auf einem Bereich M ist auch stetig auf M, denn wenn du in (I) einfach x=x_0 setzt (also ein beliebiges x_0 aus M festhältst) und dann nur alle y mit |y-x_0| < Delta=Delta(Epsilon) betrachtest, so folgt ja aus (I) schon: |f(x_0)-f(y) < Epsilon, also die Aussage in (II). (**) Also ist jede Funktion, die glm. stetig ist auf einem Bereich M, auch stetig auf M, da in (*) das x_0 aus M ja beliebig war. [(III) Bei der Stetigkeit auf M gibt man sich also ein beliebiges x_0 vor, hält dieses fest und betrachtet dann den Abstand aller Funktionswerte in der Delta-Umgebung dieses festem x_0, wobei dieses Delta von x_0 abhängig sein darf. (IV) Bei der glm. Stetigkeit nimmt beliebige x,y-Werte, die nur die Bedingung erfüllen, dass |y-x| < Delta=Delta(Epsilon) ist und betrachtet dann den Abstand der zugehörigen Funktionswerte. (III) und (IV) sind keinesfalls exakt formuliert, insbesondere nimm das Wort betrachten nicht zu genau. Ich hoffe einfach, dass klar ist, wie das zu verstehen ist, aber weil es sehr grob formuliert ist, setze ich es in "[]"] Das Umgekehrtes (von (**)) i.A. falsch ist, zeigt etwa: f:IR->IR definiert durch f(x):=x². Diese ist stetig aber nicht glm. stetig auf IR. Glm. stetig ist etwa g: [0,oo)->IR definiert durch g(x):=Wurzel(x) und damit (wegen (*)) auch stetig. Weiter weiß man aber: Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind glm. stetig. Während also f:IR->IR definiert durch f(x):=x² nicht glm. stetig ist, ist aber z.B. h: [0,5] -> IR definiert durch h(x):=x² glm. stetig, denn h ist stetig (auf [0,5], sogar auf IR) und [0,5] ist ein kompaktes Intervall... Fazit: Die gleichmäßige Stetigkeit ist eine stärkere Eigenschaft, weil aus ihr stets die Stetigkeit folgt. Aber i.A. folgt aus der Stetigkeit nicht die glm. Stetigkeit... PS: Vielleicht hilft dir auch dies hier etwas weiter: f ist gleichmäßig stetig heißt: Wenn beliebige Werte x,y nur nahe genug beieinander liegen, dann liegen auch die Funktionswerte f(x) und f(y) nahe beieinander. Und wie weit die Funktionswerte höchstens voneinander entfernt sind, das ist abhängig vom Abstand der Werte x und y, also von |x-y|. f ist stetig in einem Punkt x_0 heißt: Wenn ein y-Wert nahe genug bei x_0 ist, dann ist auch f(y) nahe bei f(x_0). Wende das letztere mal auf f: IR-> IR definiert durch f(x)=x² an. Normalerweise rate ich ja eher davon ab, aber mach dir mal eine Skizze, wie der Graph aussieht. Dann siehst du: Betrachtest du x,y mit Abstand < Delta (Delta > 0) (also Intervalle mit Radius (Delta/2)), so siehst du (z.B.): Je weiter du auf der x-Achse nach rechts gehst, desto größer kann die Differenz der Funktionswerte dieser Intervalle mit Radius Delta/2 werden. Also kann (nach dem Graphen) die Funktion nicht glm. stetig auf IR(!!!) sein. Hältst du ein (beliebiges) x_0 aus IR fest und näherst dich diesem mit Werten y, so nähern sich auch die f(y) an f(x_0). Also ist f stetig auf IR. Beachte aber: Bilder sind keine Beweise!!! Viele Grüße Marcel |
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anonymous 12:56 Uhr, 27.03.2004 |
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Danke für die ausführliche Antwort :) Gruß, Tobias |
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