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Beweise zu Unterräumen
Universität / Fachhochschule
Tags: Algebra
 
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Hi! Sitze hier an meinem LinAlg1 Blatt und möchte meine Beweise zu zwei Aufgaben vorstellen. Bin sehr froh über Hinweise. :) Sei V ein K-Vektorraum, und seien U1,U2,U3 Untervektorräume von V. Zeigen sie: 1. 2. Beweis von 1: Die Mengen auf beiden Seiten sind nichtleer, da 0€U1,U2,U3 => 0€Ui+Uj und 0€UinUj. Sei x=a1+a2€(U1nU3)+(U2nU3) => a1€(U1nU3), a2€(U2nU3) => a1€U1 und a1€U3, a2€U2 und a2€U3 Weil U3 Unterraum ist => a1+a2€U3 Weil U1, U2 Unterräume sind => a1+a2€U1+U2 => a1+a2=x€(U1+U2)nU3 Zu 2: Sei x=a1+a2€(U1nU2)+U3 => a1€U1nU2, a2€U3 => a1€U1 und a1€U2 Weil U1,U2 Unterräume sind => a1+a2€U1+U3 und a1+a2€U2+U3 => a1+a2=x€(U1+U3)n(U2+U3) n := geschnitten € := Elementsymbol Viele Grüße, MIchael |
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Hallo Michael, > Beweis von 1: > Die Mengen auf beiden Seiten sind nichtleer, da 0€U1,U2,U3 => 0€Ui+Uj und > 0€UinUj. Besser genauer begründen: Wegen 0 € U1,U2,U3 ==> 0 € (U1nU3) und 0 € (U2nU3) ==> 0=0+0 € (U1nU3)+(U2nU3) etc. (Da kommt es drauf an, wie genau der Korrekteur das haben will. Vielleicht fragst du einfach mal nach, ob deine Begründung schon reicht, weil das ja damit alles offensichtlich ist, oder ob er das formal alles gezeigt bekommen will, so wie ich jetzt hier gezeigt habe, dass 0 € (U1nU3)+(U2nU3) gilt!) > Sei x=a1+a2€(U1nU3)+(U2nU3) Du schreibst hier (U1nU3), ich denke, so lautet die eigentliche Aufgabe (der Formeleditor zeigt (U1nU2) an!). Hm, besser wäre es, du würdest anfangen: Sei x € (U1nU3)+(U2nU3) ==> Es gibt a1 € (U1nU3), a2 € (U2nU3) mit x=a1+a2 Wegen a1 € U1, a2 € U2 ist dann jedenfalls x=a1+a2 € U1+U2. > Weil U3 Unterraum ist => a1+a2€U3 Aha, weil a1,a2 auch beide € U3 sind und U3 Unterraum, folgt: x=a1+a2 € U3 > => a1+a2=x€(U1+U2)nU3 Okay! > Zu 2: > Sei x=a1+a2€(U1nU2)+U3 Wie eben würde ich empfehlen, so anzufangen: Sei x € (U1nU2)+U3 ==> es gibt a1 € (U1nU2) und a2 € U3 mit x=a1+a2 Da a1 € U1 ist, ist deswegen sicherlich x=a1+a2 € U1+U3. Weiter ist aber auch a1 € U2, und damit gilt auch x=a1+a2 € U2+U3. Also gilt x € U1+U3 und x € U2+U3, also: x € (U1+U3)n(U2+U3) (Warum du hier erwähnst, dass das Unterräume sind, weiß ich nicht. Vermutlich, weil ihr für Unterräume Ui,Uj die Menge Ui+Uj={x € V: es existiert a € Ui und b € Uj mit x=a+b} definiert habt? Man braucht da keine Unterräume, man kann das genauso für Teilmengen A,B von V definieren: A+B:={x: es existiert a € A und b € B mit x=a+b}. Denn die Addition ist ja insbesondere auf V definiert,d.h. sind A und B Teilmengen von V, so ist mit a € A und b € B auch a,b € V, also a+b € V! Vielleicht schreibst du z.B. an dieser Stelle oben, wo ich geschrieben habe: Wegen a1 € U1, a2 € U2 ist dann jedenfalls x=a1+a2 € U1+U2. dann besser: Da U1 als Unterraum eine Teilmenge von V ist, U2 als Unterraum auch Teilmenge von V ist, ist damit x=a1+a2 € U1+U2. (Und an den anderen Stellen, wo du es für notwendig hältst!)) > n := geschnitten > € := Elementsymbol Viele Grüße, Marcel |
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Vielen Dank für die vielen Anmerkungen, Marcel! :) Durch deine klareren Formulierungen habe ich jetzt sicher einen deutlicheren Beweis aufgeschrieben und auch die Dinge besser verstanden. Der Nachweis der "Nichtleerheit" der Mengen habe ich in der ganz ausfürhlichen Fassung hingeschrieben bei a), bei b) sehr kurz - wenn ich die Blätter zurück bekomme werd ich ja sehen, was meine Übungsleiterin sehen will(Wie sieht das eigentlich in Klausuren aus, wie ausführlich muss ich da sein?). In einem dritten Teil soll ich nun zeigen, dass die umgekehrten Inklusionen i.A. nicht gelten. zu 1) Sei x€(U1+U2)nU3 => x€(U1+U2) und x€U3 => Es gibt a1€U1 und a2€U2 mit x=a1+a2. Hier ist wohl das Problem: Ich kann nicht folgern, dass es a1,a2€U3 mit a1+a2=x€U3 gibt - oder? zu 2) Sei x€(U1+U3)n(U2+U3) => x€(U1+U3) und x€(U2+U3) => Es gibt a1€U1 und a3€U3 mit x=a1+a3 und es gibt a2€U2 und a3€U3 mit x=a2+a3. => a1+a3=a2+a3 => a1=a2 => a2€U1 => a1€(U1nU2) => a1+a3€(U1+U3) und a1+a3€(U2+U3) => a1+a3€(U1nU2)+U3 qed Mindestens in 2) muss dann wohl ein Fehler sein, weil ich ja gezeigt habe, dass die umgekehrte Richtung gilt... Viele Grüße, Michael |
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Hallo Michael, > Vielen Dank für die vielen Anmerkungen, Marcel! :) > Durch deine klareren Formulierungen habe ich jetzt sicher einen > deutlicheren Beweis aufgeschrieben und auch die Dinge besser verstanden. > Der Nachweis der "Nichtleerheit" der Mengen habe ich in der ganz > ausfürhlichen Fassung hingeschrieben bei a), bei b) sehr kurz - wenn ich > die Blätter zurück bekomme werd ich ja sehen, was meine Übungsleiterin > sehen will(Wie sieht das eigentlich in Klausuren aus, wie ausführlich muss > ich da sein?). Also ich denke, in einer Klausur sollte man das Wichtigste begründen, da kannst du nicht auf jede Kleinigkeit achten. Aber man sollte schon die Wesentlichen Dinge deutlich machen und darauf hinweisen, was man woraus gefolgert hast (du wirst früher oder später ein Gespür dafür bekommen, was wesentlich ist und was man als selbstverständlich annehmen darf). > In einem dritten Teil soll ich nun zeigen, dass die umgekehrten Inklusionen > i.A. nicht gelten. > zu 1) > Sei x€(U1+U2)nU3 => x€(U1+U2) und x€U3 > > => Es gibt a1€U1 und a2€U2 mit x=a1+a2. > Hier ist wohl das Problem: Ich kann nicht folgern, dass es a1,a2€U3 mit > a1+a2=x€U3 gibt - oder? Ich weiß nicht genau, ob du das hier meinst (vermutlich aber schon): Hier ist zwar a1+a2 € U3, jedoch folgt daraus noch nicht, dass a1 € U3 und a2 € U3 gelten muss. Genau da ist der Knackpunkt. Aber warum schreibst du das alles formal auf? Um zu zeigen, dass die umgekehrte Inklusion i.A. falsch ist, genügt ein Gegenbeispiel. Um so eines zu finden, sind deine Überlegungen aber zu gebrauchen: Sei V=IR² der Vektorraum über IR (mit komponentenweiser Addition, Skalarmultipl.). U1 sei die x1-Achse, U2 sei die x2-Achse und U3 sei die Gerade mit Steigung 45°, die durch (0,0) € IR² geht (du weißt, denke ich, was ich mit dieser 45°-Geraden meine. Es entspricht in einem kartesischen Koordinatensystem halt der Geraden mit Steigung 1, die durch den Ursprung geht, deshalb habe ich das hier etwas unpräzise formuliert!). (Das mußt du jetzt natürlich noch mathematisch formulieren: U1:={(r,0)€IR²: r € IR} etc. und kurz nachweisen (oder begründen), dass das auch tatsächlich Unterräume von V sind!) Dann gilt: (U1+U2)nU3=U3. Aber es gilt weiter: (U1nU3)={(0,0)€IR²}, (U2nU3)={(0,0)€IR²}, also (U1nU3)+(U2nU3)={(0,0)€IR²}. Wenn du das ganze jetzt mathematisch formulierst, so brauchst du nur noch zu begründen, dass (beispielsweise) (1,1)€(U1+U2)nU3 gilt (etwa, weil: (1,1)€U3 und weil (1,0)€U1, (0,1)€U2 und (1,1)=(1,0)+(0,1)), aber es nicht sein kann, dass (1,1)€(U1nU3)+(U2nU3) (sonst wäre ja (1,1)=(0,0)). (Du brauchst jetzt doch nichts mehr zu begründen, denn das habe ich ja gerade alles getan. ;-) Was du aber noch nachweisen/nachrechnen solltest, sind meine Behauptungen: (U1nU3)={(0,0)€IR²}, (U2nU3)={(0,0)€IR²}!) Dann hast du nämlich gezeigt: Es gibt einen Fall, wo (U1+U2)nU3 keine Teilmenge von (U1nU3)+(U2nU3) ist, also kann die umgekehrte Inklusion i.A. nicht gelten! > zu 2) > Sei x€(U1+U3)n(U2+U3) => x€(U1+U3) und x€(U2+U3) > => Es gibt a1€U1 und a3€U3 mit x=a1+a3 und > es gibt a2€U2 und a3€U3 mit x=a2+a3. Ja, hier ist schon der Fehler: Es folgt nur: Es gibt a1€U1 und a3€U3 mit x=a1+a3 und es gibt a2€U3 und, Achtung!!!, (a3)'€U3 mit x=a2+(a3)'. Du darfst hier nicht nochmal a3 nehmen, denn die Variable a3 hattest du schon vergeben und das (a3)' muss nicht mit dem anderen a3 übereinstimmen! Aber auch hier: Versuche, ein Gegenbeispiel zu basteln! Viele Grüße, Marcel |
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@Marcel: Habe die Aufgabe grad noch mal entdeckt und sage hiermit DANKE für deine Erklärungen und deine schöne Rechnung. :) Grüße, Michael |
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