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Polylösungen
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 22:27 Uhr, 15.08.2006  |
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HI! Könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe helfen? *verzeweifel* Welche Polynomlösung besitzt die folgende DGL: y' = (1-x+x²) + (1-2x)y + y² (Anleitung: Man überlege sich zunächst dass der Grad eines Lösungspolys y höchstens 1 sein kann!) Geht durch jeden Anf.wert (x_0, y_0) aus R2 eine Polylösung der angegebenen DGL? ich weiß gar nicht wo ich anfangen soll, vor allem wie... (:-... *help* viele grüße maus |
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Hallo, am besten nutzt man die beiden Hinweise: 1.) Die Lsg ist ein Polynom 2.) Der Grad des Polynoms kann hoechstens 1 sein Beweisen wir zuerst 2.) Sei das Loesungspolynom p von der Form cx^n+... (es interessiert mich momentan nur das x mit der groessten Potenz), c ungleich 0. Dann kommst Du auf: p' = (1-x+x²) + (1-2x)p + p² ncx^(n-1) = 1-x+x² - 2cx^n+... + c^2x^(2n)+... Die Punkte stehen fuer die anderen Terme, die momentan aber nicht wichtig sind. Links hast Du nun x^(n-1) stehen und rechts x^(2n) als groesste Potenz. Nehmen wir nun an, n sei mindestens 2. Dann ist x^(2n) mindestens x^4. Da auf der rechten Seite nur Summen stehen, koennte man dieses x^4 nur wegkriegen, wenn es noch ein x^4 mit umgedrehtem Vorzeichen gaebe. Aber alle anderen Potenzen sind kleiner als 2n (fuer n >= 2). Und ncx^(n-1) kann niemals gleich c^2x^(2n)+... fuer alle x sein, egal welches c du waehlst. Also ist p = cx+b, eventuell mit c=0 oder b=0. Das setzen wir ein: (cx+b)' = (1-x+x^2) + (1-2x)(cx+b) + (cx+b)^2 c = 1 - x + x^2 + cx + b - 2cx^2 - 2bx + c^2x^2 + 2bcx + b^2 Nun fassen wir das mal zusammen und kriegen: 0 = (c^2 - 2c + 1)x^2 + (c + 2bc - 2b - 1)x + (1 + b + b^2 - c) und weiter 0 = (c-1)^2 x^2 + (2b+1)(c-1)x + (b^2 + b - c + 1) Das sollte nun eigentlich loesbar sein. Und wie immer: besser nochmal nachrechnen, ich vertue mich gerne. Gruss, Alex |
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Hi Alex! vielen lieben dank für deine ausführlichen erklärungen! jetzt versteh ich das... wie würdest du das noch zeigen ob durch jeden punkt (x_0,y_0) eine lösung geht? viele grüße maus |
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