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gleichmäßig stetige funktion...
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 17:26 Uhr, 11.01.2005  |
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Hallo, ich soll zeigen, dass die Fkt. f : (0, unendl.) -> IR, x -> 1/x auf jedem Intervall (a, unendl.) [mit a > 0] gleichmäßig stetig ist, aber auf dem Intervall (0, unendl.) nicht gleichmäßig stetig ist... Habe keine Ahnung, wie ich die Aufgabe angehen soll... Kann mir jemand 'nen Tipp geben?? Danke, Martin |
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Hallo! Um die glm. Stetigkeit auf (0,oo) (wobei oo=unendlich) zu widerlegen: Wähle Epsilon=1. Nimm o.B.d.A. an, dass Delta aus (0,1) beliebig, aber fest, ist. Setze x:=Delta, y:=Delta/2. Dann gilt: x,y liegen im Intervall (0,1), also insbeondere im Intervall (0,oo), was der Def.-Bereich von f ist. Was kannst du dann über |f(x)-f(y)| sagen? Was ist aber mit |x-y|? Ist nun a > 0 fest, so überlege dir (für f: (a,oo)->IR, f(x)=1/x): (*) Ist |x-y| < Delta, so gilt: |f(x)-f(y)| < Delta/a² (Warum?) Gibst du dir nun ein Epsilon > 0 vor: Wie kannst du dann in (*) ein Delta > 0 passend wählen, so dass aus (*) |f(x)-f(y)|< Epsilon folgt? Viele Grüße, Marcel |
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Danke für deine Antwort! Mittlerweile bin ich auf einen ganz anderen Weg gekommen, um die gleichmäßige Stetigkeit von f(x) auf [1, oo) zu zeigen: |f(x) - f(y)| = |1/x - 1/y| = |y-x| / xy <= |x-y| ==> f(x) ist Lipschitz-stetig auf [1, oo) ==> aus Lipschitz-Stetigkeit folgt immer auch die glm. Stetigkeit [und daraus könnte man die "allgemeine Stetigkeit" folgern, schreib' ich hier aber nur informations-halber] Trotzdem Vielen Dank für deine Antwort!! Gruß, Martin |
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Hallo Martin, okay, das stimt, für die glm. Stetigkeit auf [1,oo) nachzuweisen. Aber dann hast du noch lange nicht für jedes a > 0 die glm. Stetigkeit auf (a,oo) nachgewiesen. Aber: Guck bei dem Beweis, den ich dir vorschlagen wollte, mal genau hin! Der Beweis, den ich meinte, ist der allg. Beweis für die glm. Stetigkeit auf (a,oo) (falls a > 0 fest) und die Abschätzung geht analog: |f(x)-f(y)|=|x-y|/(xy) < delta/a² (Definiere bei mir also am Ende: delta:=epsilon*a² (das ist dann > 0), wobei ja epsilon > 0 bel., aber fest, vorgegeben war). Wenn du mal genau hinguckst, ist dein Beweis ein Spezialfall meines Beweises; nur, das meiner eine viel allgemeinere Aussage beweist (woher weißt du bei deinem Beweis denn z.B., dass die Funktion glm. stetig auf dem Intervall (a;0,5) ist (wenn 0 < a < 0,5)?)... Viele Grüße, Marcel |
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hallo hab da acugh mal ne frage zu....komm nicht ganz klar zu zeigen dass für (0, oo) das nicht gilt. also wenn ich davon aus geh x=L und y=L/2 dann muss ich ja zeigen |f(x) - f(y)| > L|x - y| damit es nicht gleichmäßig stetig ist....oder? daraud folgt dann 1) |1/L - 2/L| = 1/L 2) L|L - L/2| = L²/2 aber da ist ja 1 <= 2. dann wäre es doch gleichmäßig stetig greetz |
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