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Berechnung der effektiven Sonneneinstrahlung
Sonstiges
Tags: Trigonometrie
 
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Hallo Matheforum! Wie ermittle ich aus dem Sonnenstand (Azimut alpha und Höhenwinkel beta) den effektiv bestrahlten Flächenanteil auf eine Fläche F ? Zusatz: Die Fläche ist um den Winkel gamma von der Horizontalen aus nach Süden geneigt. In der Ost-West-Richtung befindet sich die Fläche in der Horizontalen. Zur Veranschaulichung zwei Beispiele: 1.)Steht die Sonne genau im Süden (alpha = 180°) mit einem Höhenwinkel von beta = 60°, dann ist bei einer Neigung von gamma =30° die effektive Fläche 100%. 2.)Steht die Sonne genau im Osten (alpha = 90°) mit einem Höhenwinkel von beta = 30°. dann ist bei einer Neigung von gamma = 0° die effektive Fläche 50%. Ich suche also eine Formel effektiveFläche = funktion (alpha, beta, gamma). Die effektive Fläche ist die Projektionsfläche, also gleich dem Schattenanteil rechtwinklig zur Sonneneinstrahlungsrichtung. Gruss Knaudle |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Kosinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Tangens (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Auf der Fläche steht ein Vektor u der Länge 1 senkrecht. Er zeigt schräg nach oben. Ein weiterer Vektor v der Länge 1 zeigt von der Fläche zur Sonne. Dann ist das Skalarprodukt u * v der gesuchte Prozentsatz.
Durchführung:
Wir verwenden ein rechtwinkliges xyz-Koordinatensystem, dessen Ursprung in der Mitte der Fläche liegt. x zeigt nach Süden, y nach Osten und z zeigt vom Erdmittelpunkt weg.
Der Vektor u hat dann die Koordinaten x = sin(gamma) y = 0 z = cos(gamma).
Beim Vektor v ist sin(beta) = z. Die senkrechte Projektion von v in die x-y-Ebene hat die Länge cos(beta).
Der Winkel alpha beginnt im Norden bei 0°, Osten entspricht 90°, Süden 180° und Westen 270°. Dann ist sin(alpha) = y / cos(beta) und cos(alpha) = -x / cos(beta).
Dies macht man sich anhand eines Koordinatensystems klar:
x zeigt nach unten (Süden), y zeigt nach rechts (Osten). Ein Vektor der Länge cos(beta) zeigt etwa nach rechts oben. Der Richtungswinkel alpha dieses Vektors wird im Uhrzeigersinn von der Nordrichtung aus gezählt.
Die Koordinaten von v sind also x = - cos(alpha) * cos(beta) y = sin(alpha) * cos(beta) z = sin(beta)
Das gesuchte Skalarprodukt aus u und v ist u * v = - sin(gamma) * cos(alpha) * cos(beta) + cos(gamma) * sin(beta)
GRUSS, DK2ZA
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Idee ist gut! Die Berechnung des Wirkungsgrades cos phi sieht jedoch so aus: cos phi = (x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(wurzel(x1^2+y1^2+z1^2)*wurzel(x2^2+y2^2+z2^2)) wobei der Index 1 für den Vektor u und der Index 2 für den Vektor v steht. Die Formel habe ich gefunden in http://www.math.ethz.ch/~knus/geometrie/1.pdf, Seite 7, unten. Die Richtigkeit wird durch Zahlenbeispiele bestätigt. |
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Das Skalarprodukt zweier Vektoren u und v ist so definiert:
u * v = (Betrag von u) * (Betrag von v) * cos(Winkel zwischen den Vektoren)
Bei meiner Herleitung habe ich Einheitsvektoren verwendet, d.h.
Betrag von v = Betrag von u = 1
Damit gilt für das Skalarprodukt
u * v = cos(Winkel zwischen den Vektoren)
Insofern ist mein Ergebnis schon in Ordnung.
(Übungsaufgabe:
Der Betrag eines Vektors ist Wurzelaus(x² + y² + z²). Zeige, dass u und v den Betrag 1 besitzen. Hinweis: (sin(w))² + (cos(w))² = 1)
GRUSS, DK2ZA
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Ja ja, war und ist alles richtig, wenn man mal vom "Wirkungsgrad" (so oder so gesehen) absieht. |
