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Sinus und Kosinus Ableiten ohne Kettenregel
Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe
Tags: Ableitung, Kettenregel, Kosinus, Sinus
 
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Der Witz des Tages, aber ernst gemeint: Leiten Sie sin(2x) und cos(2x) nach x ab ohne die Kettenregel zu verwenden! (Wer mir jetzt mit Differnzialqutienten kommt, der sollte bedenken, dass dabei am Ende die Kettenregel rauskommst und deswegen nicht darauf zurückgegriffen ereden darf;)) Viel spass beim knobeln. Ich verzweifle an der Aufgabe =)
ff-freak |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Kosinus (Mathematischer Grundbegriff) Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Extrema / Terrassenpunkte Kettenregel |
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Vielleicht über ein Additionstheorem? Eine andere Möglichkeit sehe ich eigentlich nicht.
Wer stellt eine solche Frage? Was ist der Zusammenhang? |
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Additionstheorem? Was immer du damit meinst ^^. Wie gesagt. Ableiten ohne Kettenregel. Gestellt wurde die Aufgabe in der Uni (mein Bruder hat Probleme damit und ich nun auch). Wäre froh, wenn mir djemand weiterhelfen könnte.
ff-freak |
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Hallo ff-freak ja genau, über das Additionstheorem geht das: Das Additionstheorem für den Sinus ist dieses: sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) Damit auch: sin(2x) = 2sin(x)cos(x) Das kannst du ableiten, indem du die Produktregel anwendest (was dann eben nicht die Kettenregel ist). (fg)'=f'g+fg' Damit: (2sin(x)cos(x))' = 2cos2-2sin2 Zur Kontrolle mit der Kettenregel: sin(2x)'=2*cos(2x) Mit dem Additionstheorem cos(2x) = cos2(x)-sin2(x) haben wir sogar die Bestätigung erhalten. Alles klar? Gruss Paul |
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erstmal vielen Dank für die Mühe Paulus. Es gibt nur ein Problem: Wenn du 2*cos x * sin x ableitest wirst du zwangsläufig wieder auf die Kettenregel zurückgreifen müssen, da du ja cos x und sin x jeweils einmal ableiten musst. Ich finde die Aufgabe auch schrecklich. Du darfst einfach nicht von cos(f(x)) auf f'(x)*cos'(fx) übergehen, sonst hast du die Kettenregel angewandt...
trotzdem danke für deine Versuch der Hilfe =)
greetings ff-freak |
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Hallo ff-freak, da kann ich Dir nicht recht geben: Bei der Ableitung von 2*cos x * sin x benötigt man keine Kettenregel. Das ist (wenn man so will) eine doppelte Produktregel und keine Kettenregel. |
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Hallo ff-freak Es wäre wirklich einmal DRINGEND nötig, dass du dir Klarheit verschaffst, was die Kettenregel und was die Produktregel ist, bevor du solchen Stuss herauslässt! Gruss Paul |
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So hallo, entweder ich wurde missverstanden oder ich weiß auch nicht. Vorweg Paulus, ich habe mich lange und breit mit Ketten- und Produktregel befasst und dein Kommentar (nur mal so) ist erstens keine ne Lösung für mein Problem bezüglich der Aufgabe und zweitens blöd formuliert (ziemlich offensiv, wenn du verstehst)! Hier der Beweis das die Kettenregel eben doch angewandt wird -.- : 2sin(x) = 2 sin x cos x (2 sin x cos x)' = 2sin(x)*cos'(x) + 2sin'(x)*cos(x) Um auf das von Paulus genannte -2sin(x)²cos(x)² zu kommen, muss man (!) für cos'(x) und sin'(x) die Kettenregel anwenden. (Innere Funktion "x" äußere Funktion "sin" bzw. "cos"). Denn wenn man cos'(x) und sin'(x) wieder ableiten muss, ist man eigentlich genausoweit wie am anfang der Aufgabe nur, dass man nen längeren Term hat. Egal wie oft die Produktregel angewandt wird, am Ende bleibt immer einem Sin'(x) und Cos'(x) über -.- (blabla... keine Ahnung von Kettenregeln und Produktregeln... Paulus, vielleicht solltest du auch noch mal in deine Notizen schauen [sry, aber deine Art zu antworten hat mich echt ganz schön gereizt]). Wäre froh, wenn es jemand schaffen würde auf die ABleitung zu kommen ohne die Kettenregel abzuleiten ^^ greetings ff-freak PS: (Die Aufgabe ist lösbar, laut Lehrer meines Bruders) |
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Hallo ff-freak Ah, jetzt verstehe ich. Man darf die Variable x niemals als Element der Definitionsmenge auffassen, sondern muss immer zuerst noch die Identität darauf anwenden! Sehr schön. Nur: so gesehen existiert dann überhaupt keine Funktion, die ohne Kettenregel abgeleitet werden kann. Das ist höchst bedauerlich, und der Lehrer von deinem Bruder hat auf gar keinen Fall recht, wenn er behauptet, die Aufgabe sei lösbar. Würdest du dann aber bitte die Musterlösung uns allen hier bekannt machen, bitte? Gruss Paul |
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mach ich! sobald mein Bruder die Lösung bekommt =) (dürfte so mrogen sein ^^) ff-freak |
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Hallo ff-freak
darf ich höflichst anfragen, ob sich in der Sache etwas getan hat? Wie ist die Lösung denn nun? Ich zerplatze nächstens vor Ungeduld!
Gruss
Paul |
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Hallo ff-freak Ich zerplatze WIRKLICH nächstens vor Ungeduld! Denn schliesslich wirft das ja alles über den Haufen, was ich bisher an Mathematik gelernt habe! Wie ist also die Lösung??? Gruss Paul |
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Moin Paulus! Auch ich warte gespannt auf die Antwort XD! Der Professor in der Uni hatte diese Aufgabe übersprungen. Aber ich hab mich mal schlau gemacht und zwei Wege gefunden, um aufs gewünschte Ziel zu kommen ;).
Der Beweis läuft über ne geometrische Veranschaulichung: www.mathe-online.at/mathint/diff1/i_beweis17_18.html
Wie du dort unschwer erkennen kann, wird das eingeschlossene Dreieck, dessen Hypotenuse gekrümmt ist, zu einem rechtwinkligen geraden Dreieck, wenn die Hypotenuse oder E in diesem Falle gegen Null strebt. Durch Anwenden des Cosinus ergibt sich dann cos x = s/E.
Ein Nachweis erfolgt zum Beispiel über die Taylorreihenentwicklung: sin(x) = x - x^3/(1*2*3) + x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*3*4*5*6*7) + ... cos(x) = x^0/0! - x^2/(1*2) + x^4/(1*2*3*4) - x^6/(1*2*3*4*5*6) + ... cos(x) = 1 - x^2/(1*2) + x^4/(1*2*3*4) - x^6/(1*2*3*4*5*6) + ...
Je nachdem wie es dir beliebt, entweder sinus aufleiten, oder cos ableiten ergibt, ich elite sinus ab: f(x) = sin(x) = x - x^3/(1*2*3) + x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*3*4*5*6*7) + ... f'(x) = 1 - x^2*3/3! + x^4*5/5! - x^6*7/7! +... n/n! = 1/(n-1)! f'(x) = 1 - x^2/(1*2) + x^4/(1*2*3*4) - x^6/(1*2*3*4*5*6) + ... f'(x) = cos(x)
Hoffe ich konnte deine Ungeduld stillen =) Was der Professor für nen Lösungsansatz hatte, hätte ich jetzt aber auch gerne gewusst.
Gruß ff-freak |
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Hallo ff-freak, ich habe das ganze ähnlich gespannt beobachtet wie Paulus und bin nun sehr enttäuscht. Du leitest hier in Deinem Link sin(x) ab und erhältst cos(x), gut, richtig, aber war Deine Frage nicht die nach sin(2*x) und cos(2*x) ohne Kettenregel? Ich bleibe weiter gespannt... |
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Hallo m-at-he! Erstmal dem Weg des Additionstheorem nach: und nun Ableiten nach Produktregel: Eigentlich genau das was Paulus auch gemacht hatte. So, da ich nun auch cos'(x) ableiten muss, hier auch der Beweis, dass cos'(x) gleich -sin(x) ist: sin(x) = x - x^3/(1*2*3) + x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*3*4*5*6*7) + ... cos(x) = 1 - x^2/(1*2) + x^4/(1*2*3*4) - x^6/(1*2*3*4*5*6) + ... cos'(x) = - x^(2)*2/2! + x^(3)*4/4!) - x^(5)*6/6! +... n/n! = 1/(n-1)! cos'(x) = -x + x^3/(1*2*3) - x^5/(1*2*3*4*5) + x^7/(1*2*3*4*5*6*7) - ...) cos'(x) = -(x - x^3/(1*2*3) + x^5/(1*2*3*4*5) - x^7/(1*2*3*4*5*6*7) + ...) cos'(x) = -sin(x) So und nun setzen wir die nach Taylorreihen abgeleiteten sin(x) und cos(x) in unsere halbabgeleitete Funktion ein: f'(x) = 2*(sin(x)*cos'(x) + sin'(x)*cos(x)) (sin'(x) = cos(x) und cos'(x) = -sin(x)) f'(x) = 2(sin(x)*(-sin(x)) + cos(x)*cos(x)) f'(x) =-2*sin(x)²*cos²(x) f''(x) = 2(-sin(x)*sin(x) + cos(x)*cos(x)) Nach Additionstheorem gilt cos(2x) = cos(x+x) = -sin(x)*sin(x) + cos(x)*cos(x) f'(x) = 2 * cos(2x) ---------------------------------------------------------------------------------------------- Und nun nochmal die Ableitung ohne Kettenregel für cos(2x) Erstmal wieder dem Weg des Additionstheorem nach: und nun Ableiten nach Produktregel: Es gilt wie schon oben nach Taylorreihen nachgewiesen: sin'(x) = cos(x) und cos'(x) = -sin(x) Einsetzen in die Funktionsgleichung: f'(x) = (-sin(x))*cos(x) + (-cos(x))*sin(x)) + (-sin(x))*cos(x) + cos(x)*(-sin(x)) f'(x) = -2(sin(x)*cos(x) + sin(x)*cos(x)) Nach Additionstheorem gilt wieder: sin(x)*cos(x) + sin(x)*cos(x) = sin(x+x) = sin(2x) f'(x) = -2*sin(2x)
so mathe und Paulus, hoffe ich konnte euch helfen und eure Neugier zufriedenstellend lindern =). greetings ff-freak
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@ff-freak: Das ist eine Pseudodiskussion. Du hast dich oben mal geweigert, sin(x) abzuleiten, da du dazu die Kettenregel benötigen würdest: (sin(x))' = sin'(x)*id'(x) = cos(x)*1 = cos(x). Dir wurde widersprochen, da man das Anwenden der Ableitungsoperation auf die Identität id(x) nicht als Anwendung der Kettenregel zählen lassen wollte. Du hattest behauptet, es existiere eine Lösung, die auch das nicht erfordern würde. Deine Lösung erforder nun das Ableiten von 2*sin(x)*cos(x). Nach Produktregel ist das nun aber 2*(sin(x)*cos'(x)*id'(x)+sin'(x)*id'(x)*cos(x)) und du bist nicht weiter als zuvor. Auch zum Ableiten der Taylorreihenterme x^n benötigst du die Kettenregel, es ist nämlich (x^n)'=n*x^(n-1)*id'(x). Wenn du aber hier die inneren Ableitungen id'(x) weglassen möchtest, was du darfst, dann kannst du das ebenso oben tun. Deine Lösung ist schlussendlich eine extreme Verkomplizierung, die aber genauso an deinem ursprünglichen Argument scheitert.
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