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0.5 fakultät

Schüler Oberschule,

Tags: Gamma-Funktion

Manhatten aktiv_icon

23:27 Uhr, 05.08.2011

kann mir mal jemand sagen wozu man

0,5!

braucht? ist das überhaupt praxisrelevant? oder nur mathematische spielerei?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Aurel

03:09 Uhr, 06.08.2011

x! = Γ (x + 1)

wobei

Γ

die Gammafunktion ist

Anwendungen der Gammafunktion, siehe folgender Link - Seite

1 :

www.telecomm.at/documents/gamma.pdf

OmegaPirat

16:38 Uhr, 06.08.2011

Die Gammafunktion kann auch dazu dienen um Ausdrücke in denen die Fakultät auftaucht auf reellen Zahlen zu verallgemeinern.
Ein Beispiel:
Gegeben ist die Funktion

f (x) = x^{n}

mit

n \in N

Jetzt leite ich sie k-mal ab mit

k \in ℕ

Also:

\frac{d^{k} f (x)}{{d x}^{k}} = \frac{n!}{(n - k)!} \cdot x^{n - k}

Nun lassen sich mit dieser Gleichung aber auch Fälle für nicht natürliche

n

mit Hilfe der Gammafunktion ausdrücken.
Es ist nämlich:

\frac{d^{k} f (x)}{{d x}^{k}} = \frac{Γ (n + 1)}{Γ (n - k + 1)} \cdot x^{n - k}

Ein Beispiel

f (x) = x^{\frac{1}{2}}

Nun ist

Γ (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2}

und

Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}

Dann folgt für die erste Ableitung (also

k = 1

und

n = \frac{1}{2})

\frac{d f (x)}{d x} = \frac{Γ (\frac{3}{2})}{Γ (\frac{1}{2})} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{π}}{2}}{\sqrt{π}} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}}

was offenbar korrekt ist.
Die Formel

\frac{d^{k} f (x)}{{d x}^{k}} = \frac{Γ (n + 1)}{Γ (n - k + 1)} \cdot x^{n - k}

taugt aber zu noch viel mehr. So gibt es keinen Grund

k

auf den Bereich der natürlichen Zahlen einzuschränken. Mit dieser Formel sind also auch halbzahlige Ableitungen definiert, was die Grundlage der fraktionalen Infinitesimalrechnung darstellt. Aber nicht nur das. Man kann in die gammafunktion auch komplexe Zahlen einsetzen.

Manhatten aktiv_icon

23:17 Uhr, 06.08.2011

wow danke...

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