Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » 1/n^2 Quotientenkriterium und Wurzelkriterium

1/n^2 Quotientenkriterium und Wurzelkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium

UchihaMadara aktiv_icon

11:57 Uhr, 04.09.2023

Hi!

Ich möchte mit dem Wurzel- und Quotientenkriterium zeigen, dass

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}

konvergiert, divergiert oder man keine Aussage erhält.

(Mir ist bewusst, dass die Reihe konvergiert)

QK:

lim_{k \to \infty} = \frac{k^{2}}{{(k + 1)}^{2}} = \frac{k^{2}}{k^{2} + 2 k + 1} = lim_{k \to \infty} \frac{k^{2} \cdot (1)}{k^{2} \cdot (1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k})} = \frac{1}{1} = 1

\to

keine Aussage

WK:

| \frac{1^{\frac{1}{k}}}{{(k^{2})}^{\frac{1}{k}}} | = \frac{1}{1^{2}} = 1

\to

keine Aussage

Kann irgendwie beides nicht stimmen.
Beim Quotientenkriterium ist das Ausklammern von

k^{2}

im Zähler glaube ich Verletzung mathematischer Gesetze, nicht wahr?

VG.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:13 Uhr, 04.09.2023

Hallo,

hm, beim Ausklammern sollte es

k^{2} (1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^{2}})

heißen.

Weder Quotienten- noch Wurzelkriterium liefern hier eine Entscheidungsmöglichkeit.
Wurzelkriterium wäre übrigens eher

\sqrt[k]{k^{2}} = {(\sqrt[k]{k})}^{2} \to 1

.

Dass die Reihe konvergiert, kann man durch eine unscheinbare Abschätzung leicht beweisen.
Es gilt nämlich

\frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{k^{2} - 1}

zumindest für alle

k > 1

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k^{2} - 1} = \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{2} \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{2} \frac{1}{k + 1}

ist aber (wie man hoffentlich sieht) eine Teleskopreihe.

Mfg Michael

KL700 aktiv_icon

12:14 Uhr, 04.09.2023

www.mathelounge.de/735510/beweis-dass-die-reihe-konvergiert-abschatzung-aus-verwenden

UchihaMadara aktiv_icon

12:21 Uhr, 04.09.2023

@michaL vielen Dank!

Ich verstehe das mit dem Ausklammern nicht so richtig.

\frac{k^{2}}{k^{2} + 2 k + 1}

wie kommt man auf

k^{2} \cdot (1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^{2}}),

bzw. weshalb kommt der Nennen in den Zähler?

michaL aktiv_icon

12:23 Uhr, 04.09.2023

Hallo,

Missverständnis: der Nenner bleibt der Nenner. Ich wollte nur mitteilen, dass du den Nenner falsch ausgeklammert hast.

Mfg Michael

UchihaMadara aktiv_icon

12:24 Uhr, 04.09.2023

Ah!

Vielen Dank! :-)

HAL9000

13:07 Uhr, 04.09.2023

> Kann irgendwie beides nicht stimmen.

Wieso nicht? Es kommt beidesmal 1 raus, also allein mit diesem Grenzwert ist keine Entscheidung in der Konvergenzfrage möglich.

Das gilt auch für ALLE (!) Reihen, wo das Reihenglied eine rationale Funktion in

k

ist (gleich ob ganz- oder gebrochen rational).

Tatsächlich gilt übrigens folgendes:

1) Kommt beim Quotientenkriterium Grenzwert

q

heraus, dann ist ohne weitere Rechnung klar, dass dieses

q

auch beim Wurzelkriterium herauskommt. Insofern hast du dir die zweite Rechnung vollkommen umsonst gemacht.

2) Kommt umgekehrt beim Wurzelkriterium Grenzwert

q

heraus, dann gibt es für das Resultat beim Quotientenkriterium zwei mögliche Fälle: Entweder existiert der Grenzwert dort gar nicht - oder aber wenn er existiert, dann ist er auch gleich

q

.

Das heißt: Es ist vollkommen überflüssige Arbeit, wenn man mit Quotienten- oder Wurzelkriterium Grenzwert 1 rausbekommen hat, es noch in der Hoffnung auf eine Entscheidung mit dem jeweils anderen Kriterium zu versuchen. Nein, dann müssen andere Kriterien ran (wie Majorantenkriterium, etc.).

UchihaMadara aktiv_icon

14:44 Uhr, 04.09.2023

@HAL9000 vielen Dank für den hilfreichen Hintergrund!

VG.

1575305

1575292

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?