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2 Ebenen in Normalenform Schnittgerade bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

jiji1 aktiv_icon

23:48 Uhr, 24.08.2012

Hi,
gegeben sind die Ebenen in Normelenform

E : (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (x - (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}))

E : (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (x - (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 5 \end{matrix})) = 0

.

Bestimmen Sie die Schnittgerade und den Schnittw

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Capricorn-01 aktiv_icon

07:28 Uhr, 25.08.2012

Hallo,

Den Cosinus des Schnittwinkels kannst Du berechnen, indem Du das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren der Ebenen bestimmst, dieses durch das Produkt der Längen der beiden Vektoren teilst. Kommst Du mit dieser Anleitung klar?

Für die Schnittgerade bestimmen wir die Koordinatenform der Ebenen:
Ebene

1 : x - y + 3 = 0

Ebene

2 : 2 x + 3 y + z - 16 = 0

(diese erhältst du so: die Faktoren

A, B, C

von

x, y, z

entsprechen dem Normalenvektor der Ebene. Setzt Du nun den bekannten Punkt in die Gleichung Ax

+

+

+ D = 0

ein, erhältst Du D.

Dieses Gleichungssystem bestimmt die Schnittgerade. Wir können nun 2 Punkte auf der Geraden bestimmen:

P 1 : (1; 4; 2)

P 2 : (2; 5; - 3)

Damit kannst Du die Gerade in der Punkt-Richtungsform angeben:

g : (1; 4; 2) + t \cdot (1; 1; - 5)

jiji1 aktiv_icon

12:13 Uhr, 25.08.2012

Hallo capricorn, danke schon mal vorab.

Ok bis zur umforumung der Ebene in Koordinatenform habe ich alles nachvollziehen können. Jetzt redest du abe von einen so genannten "BEKANNTEN2 Punkt in die Gleichung

= 0

ein (Welche Gleichung meinst du hier, die Ebene 1 oder die Ebene

2)

Dann würde ich schon mal wieder einen großen Schritt weiter kommen.

Vielen Dank schon mal vorab

Matlog aktiv_icon

12:44 Uhr, 25.08.2012

Das mit dem "bekannten Punkt" ist noch die Erklärung, wie man die Koordinatenformen der Ebenen erhält (jede einzeln für sich), also die Erklärung, wie man mit Hilfe des jeweiligen Stützvektors auf

+ 3

und

- 16

in den Koordinatenformen kommt.

Dann sucht Capricorn sich einfach zwei beliebige Punkte, die in beiden Ebenen liegen. Diese müssen ja dann auch auf der Schnittgeraden liegen.
Die Punkte zu finden, ist hier besonders einfach:

x

frei wählen, mit der ersten Ebenengleichung passendes

y

berechnen, mit der zweiten passendes

z

jiji1 aktiv_icon

14:15 Uhr, 25.08.2012

Sorry, aber so kann ich die Aufgabe irgendwie nicht lösen.. Könntest du es mir bitte mit Zahlen die Lösung schreiben. Es klappt bei mir irgendwie nicht diese Schnittgerade zu ermitteln

Femat aktiv_icon

16:23 Uhr, 25.08.2012

Den Richtungsvektor der Schnittgeraden kann man auch mit dem Vektorprodukt=Kreuzprodukt der Normalen der Ebenen bilden.

[1, - 1,0] x [2,3,1] = [- 1, - 1,5]

ist dasselbe wie

[1,1, - 5]

halt mit

- 1

gekürzt.
damit heisst die Schnittgerade, wie Capricorn schon geschrieben hat

g : (1,4,2) + t [1,1, - 5]

. Hoffentlichch habt ihr Vektorprodukt schon gelernt
Gruss Femat

jiji1 aktiv_icon

16:38 Uhr, 25.08.2012

Aber wie kamst du jetzt auf die

(1,4,2)

???

Hat jetzt mein Prof ein Fehler gemacht, weil bei ihm als schnittgerade

(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 5 \end{matrix})

Und nicht so wie bei dir als Ergebnis der Schnittgerade

(\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 5 \end{matrix})

raus kommt.

Femat aktiv_icon

16:51 Uhr, 25.08.2012

Nein dein Lehrer hat keinen Fehler gemacht. Du kannst seinen Stützpunkt in den Ebenengleichungen einsetzen und die Gleichungen stimmen.
Es gibt unendlich viele richtige Lösungen. Weil es sehr viele Punkte auf der Schnittgeraden hat. 2 Punkte kennst du ,der Richtungsvektor ist fest oder evtl. alle Vorzeichen ändern geht auch.
Kennst du das Rechenverfahren bei Vektorprodukt(Kreuzprodukt?
Gruss Femat

Femat aktiv_icon

17:15 Uhr, 25.08.2012

Hier noch die Antwort auf die Punktbestimmung. Es ist nicht ganz einfach.
Da in der Ebenengleichung 1 kein

z

vorkommt, verläuft die Schnittgerade parallel zur xy-Ebene, wird also die yz-Ebene irgenwann schneiden, dh. dort ist

x = 0,

das in Ebene 1 eingesetzt gibt

0 - y + 3 = 0

also ist

y = 3

und beide in Ebene 2 eingesetzt gibt für

z = 7

also Stützpunkt

(0, 3, 7)

halt wie in der Lösung deines Proph. qed.
Diese Aufgabe ist für Lehrer aufwendig zu korrigieren, weil unendlich viele Lösungen möglich sind.
Gruss Femat

jiji1 aktiv_icon

17:17 Uhr, 25.08.2012

Vielen Dank an euch!! Jetzt habe ich es endlich komplett kappiert!!

lg jiji1

Tonik aktiv_icon

23:25 Uhr, 18.01.2016

Hallo zusammen

ich würde gerne die obige Aufgabe nochmal aufgreifen, da ich ein ähnliches Problem behandle.

Würde in Ebenengleichung 1 ein Z,wie

z . B

z = 2

vorkommen, dürfte ich dann eine Unbekannte frei wählen um das LGS zu lösen? Oder wie wäre in dem Fall das Vorgehen?

Femat aktiv_icon

17:10 Uhr, 19.01.2016

Die Ebene 1 steht senkrecht zur x-y-Ebene,da ist also nichts von

z

abhängig.
Es ist aber gerade deshalb einfach ein Zahlenpaar

x, y

zu finden, das die erste Gleichung erfüllt.
Diese Werte in Gleichung 2 eingesetzt ergibt auch noch die z-Koordinate eines Punktes auf der Ebene 2 bzw.der Schnittgeraden.
Damit fehlt noch der Richtungsvektor, den ich wie beschrieben jeweils mit dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren bestimme.

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