Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » 2 fehlende Punkte vom Rechteck ermitteln

2 fehlende Punkte vom Rechteck ermitteln

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Abstand, Gerade, Punkt, Rechteck, Vektorraum

Gretee aktiv_icon

17:47 Uhr, 16.04.2010

Hallo,

für ein Rechteck sind gegeben die Eckpunkte

A (2 | 2.5)

und

D (3.5 | 5.5)

. Rechts davon liegt der Punkt

P (5 | 3.5),

welcher den Abstand zur Linie AD darstellt.
Wie ermittelt man am „Einfachsten“ die fehlenden 2 Punkte

B

und

C

?
Bisher habe ich versucht den Abstand zwischen der Gerade AD und dem Punkt

P

zu ermitteln, womit ich schon völlig aufgeschmissen bin. Wie es danach weitergehen soll, weiß ich erst recht nicht

: - (

Für jeden Hinweis oder gute Erklärung bin ich euch dankbar!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Flächeninhalte
Flächenmessung
Geraden im Raum

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ovid122000 aktiv_icon

18:12 Uhr, 16.04.2010

also ich würde - habe die Aufgabe allerdings nicht durchgerecchnet - die Steigung der AD berechne und dann die Geraden durch A bzw

D

mit dem rechtwinkeligen

k

aufstellen - dann mit der Parallelen zur AD im Abstand zu

P

zu schneiden

lg Ovid
PS.: hoffe meine Erklärung hilft dir

Gretee aktiv_icon

18:18 Uhr, 16.04.2010

Hej Ovid,

danke für deine schnelle Antwort!
Die Steigung für die Gerade AD wäre dann ja

0.25 -

aber den Rest habe ich nicht so ganz verstanden... Was meinst du auch mit dem "K" und so?

ovid122000 aktiv_icon

18:37 Uhr, 16.04.2010

zu meiner Schulzeit hieß die Geradengleichung:

y =

+ d

k

war damals die Steigung (also Tangens),

d

der Abstand von

(\frac{0}{0})

auf der y-Achse

lg Ovid

Gretee aktiv_icon

18:54 Uhr, 16.04.2010

Achso, okay... das wusste ich nicht, dass Früher die Formel

y =

+ b

so benannt wurde.
Wie projeziert man aber nun das

k

(oder

m)

jetzt als rechten Winkel auf den Punkt

A,

sodass sich die Gerade mit

P

schneidet?

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

ovid122000 aktiv_icon

19:57 Uhr, 16.04.2010

die Zeichnung konnte ich zwar nicht öffnen, aber:

wenn

k = \frac{3}{4}

ist, dann ist das "rechtwinkelige k"

= - \frac{4}{3}

dann in die "Einpunkt-Steigungsformel" einsetzen

y - y_{1} = k \cdot (x - x_{1})

wobei

y_{1}

und

x_{1}

die Koordinaten des Punktes sind
lg

o

Gretee aktiv_icon

21:19 Uhr, 16.04.2010

Hej Ovid,

lass mich nochmal zusammenfassen:
- ich habe die Steigung der Geraden AD berechnet

\frac{y 2 - y 1}{x 2 - x 1} = m

also

\frac{5.5 - 2.5}{3.5 - 2} = 2

bei dir ist die Steigung

k = \frac{3}{4}

und das rechtwinklige

k = - \frac{4}{3}

Wie kommst du darauf?
- dann habe ich die Punktsteigungsformel, weil die Steigung

m

bekannt ist und der Punkt

P

gegeben ist mit:

y = m \cdot (x - u) + v

u = x

vom Punkt

P

v = y

vom Punkt

P

angenommen für den beliebigen Wert für

x = 1,

käme demnach bei mir das raus:

2 \cdot (1 - 5) + 3.5 = - 4.5

du hast jetzt die Formel so komisch umgestellt und ich weiß auch nicht, was jetzt das normale

x

und

y

ist, weil

x 1

und

y 1

die Koordinaten vom Punkt

P

sind!?

Tut mir Leid, aber im Moment bin ich echt verwirrt.

PS: Ich versuche die Zeichnung nochmal anzufügen, in der Hoffnung, dass es diesmal klappt ;-)

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Gretee aktiv_icon

21:27 Uhr, 16.04.2010

Sorry, irgendwie klappt das mit dem Bild nicht so richtig...
Ein letzter Versuch...

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

ovid122000 aktiv_icon

10:13 Uhr, 17.04.2010

enstschuldigung: habe nur kurz Zeit

k = \frac{3}{4}

bzw

k = - \frac{4}{3}

waren nur als Beispiel gedacht!

Wenn ich am nachmittag kurz Zeit habe, rechne ich die Aufgabe ganz durch
LG

O

Gretee aktiv_icon

11:31 Uhr, 17.04.2010

Hej,

achso - okay, dann weiß ich mit dem Wert von

k

bescheid.
Wäre echt klasse, wenn du heute nachmittag das mal durchrechnen kannst und vllt die Formel beischreibst, damit ich es nachvollziehen kann :-D)

LG

Gretee aktiv_icon

13:33 Uhr, 17.04.2010

Hej,

ich habe jetzt einen anderen Weg eingeschlagen, um erstmal den Abstand zwischen der Geraden AD und den Punkt

P

zu berechen. Ich habe aus der Gerade AD und dem Punkt

P

ein Dreieck konstruiert. Dann die Längen der 3 Seiten mit der Norm (Vektoren) berechnet.
Seite

a = 2,5

Seite

b = 3,16

Seite

c = 3,16

Dann habe ich den Winkel

γ

bestimmt.

γ = 63,45

°

Nun konnte ich die Höhe Hb ermitteln (also der Abstand zwischen der Geraden AD und Punkt

P)

2,5 \cdot sin (63,45) = 2,23

2,23

ist mein Abstand. Wie bekomme ich jetzt die Punkte

B

und

C

heraus von meinem Rechteck heraus?

PS: In meiner Zeichnung sind alle Elemente, die bekannt sind, grün makiert. Alles was ich noch suche (also

B

und

C),

ist rot gekennzeichnet.

PPS: Gibt es die Möglichkeit:

\cdot

den 3. Punkt bei einem Dreieck zu bestimmen, wenn man alle Winkel, Seitenlängen und 2 Punkte kennt?

\cdot

einfach die Gerade AB um einen Bestimmten Abstand zu verschieben und dann die Punkte

C B

zu ermitteln?

arrow30

12:44 Uhr, 18.04.2010

moin

Vektortische Lösung ist hier optimal .

A = (\begin{matrix} 2 \\ 2,5 \end{matrix}), D = (\begin{matrix} 3,5 \\ 5,5 \end{matrix}) \Rightarrow \vec{A D} = D - A = (\begin{matrix} 1,5 \\ 3 \end{matrix})

.
da es sich um einen Rechteck handelt , sind

\vec{A D}

und

\vec{B C}

parallel .. es folgt also , die Gerade

g_{1}

durch

B

und

C

sieht so aus

: g_{1} = P + k \cdot \vec{A D} = (\begin{matrix} 5 \\ 3,5 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} 1,5 \\ 3 \end{matrix})

.
nun die 2 Punkte

C

und

B

liegen ja in

g_{1}

und sind der Form:

B, C = (\begin{matrix} 5 + k \cdot 1,5 \\ 3,5 + k \cdot 3 \end{matrix}),

natürlich mit verschieden

k' s

. Es bleibt nur noch

k

zu bestimmen . Vektor

\vec{D C}

ist orthogunal zu

\vec{A D} \Rightarrow \vec{D C} \cdot \vec{A D} = 0

\vec{D C} = C - D = (\begin{matrix} 5 + k \cdot 1,5 \\ 3,5 + k \cdot 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3,5 \\ 5,5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1,5 + 1,5 \cdot k \\ - 2 + 3 k \end{matrix})

\Rightarrow \vec{D C} \cdot \vec{A D} = (\begin{matrix} 1,5 + 1,5 \cdot k \\ - 2 + 3 k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1,5 \\ 3 \end{matrix}) = 1,5 \cdot (1,5 + 1,5 k) + 3 \cdot (- 2 + 3 k) = 0 \Rightarrow 2,25 + 2,25 k - 6 + 9 k = 0

\Rightarrow k = \frac{1}{3} \to

einsetzten und

C

bestimmen

\Rightarrow C = (\begin{matrix} 5 + \frac{1}{3} \cdot 1,5 \\ 3,5 + \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5,5 \\ 4,5 \end{matrix})

und jetzt das gleiche mit

B

\vec{A B} = B - A = (\begin{matrix} 5 + k \cdot 1,5 \\ 3,5 + k \cdot 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 2,5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 + k \cdot 1,5 \\ 1 + k \cdot 3 \end{matrix})

\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0 = (\begin{matrix} 3 + k \cdot 1,5 \\ 1 + k \cdot 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1,5 \\ 3 \end{matrix}) = 1,5 \cdot (3 + 1,5 k) + 3 \cdot (1 + 3 k) = 4,5 + 2,25 k + 3 + 9 k = 0 \Rightarrow k = k = - \frac{2}{3}

\Rightarrow B = (\begin{matrix} 5 - \frac{2}{3} \cdot 1,5 \\ 3,5 - \frac{2}{3} \cdot 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 1,5 \end{matrix})

und ein Bild dazu.

Gretee aktiv_icon

17:59 Uhr, 18.04.2010

Hej Arrow30,

wooow - ist ja echt stark! Danke, das hat mir sehr geholfen und ich konnte deine Erklärung echt gut nachvollziehen!!!

LG

749115

748427

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?