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24 Teiler

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit

BabsSchnaps aktiv_icon

18:42 Uhr, 15.11.2011

b = 6825

und hat

24

Teiler. Wie lauten

(\in

allgemeiner Form) die Primfaktorzerlegungen von Zahlen, die genau so viele Teiler haben wie b?

Bin ich zu blöd oder muss ich jetzt wirklich alle Möglichkeiten in dieser Form durchgehen? Da arbeite ich mich ja bekloppt bzw. ich kann doch beliebig viele Faktoren hintereinanderhängen!?

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 24 = 24

Es müsste doch eine Anzahl an Faktoren angegeben sein, oder!?

Nanox aktiv_icon

18:57 Uhr, 15.11.2011

Also 1 ist keine Primzahl und 24 ist auch keine Primzahl.

Es ist keine Anzahl an Faktoren angegeben, denn du teilst einfach so lange weiter, bis du nur noch Primzahlen hast. Ich zeige es dir mal an einem Beispiel mit der Zahl 24.

24 = 6*4 --> keine ist eine Primzahl, also teilen wir beide Zahlen weiter
6 = 3*2 --> beide sind Primzahlen
4 = 2*2 --> beide Primzahlen

Das heißt 24 = 3*2*2*2.

Man hätte es aber auch so machen können:

24 = 12*2 --> 2 ist eine Primzahl
12 = 4*3 --> 3 ist eine Primzahl
4 = 2*2 --> beide Primzahlen

Es kommt wieder 3*2*2*2 raus. Du musst also einfach nur so lange die Zahlen weiter Teilen, bis du am ende nur noch Primzahlen da stehen hast.

BabsSchnaps aktiv_icon

19:07 Uhr, 15.11.2011

Irgendwas daran versteh ich immer noch nicht. Das 1 und

24

keine Primzahlen sind weiß ich, mein Beispiel war auf eine Form wie

a^{0} \cdot b^{0} ... ... ... . \cdot z^{23}

bezogen.
Eine Zahl mit

24

Teilern könnte doch auch so aussehen

a^{12} \cdot b^{10}

oder

a^{2} \cdot b^{4} \cdot c^{7} \cdot d^{7}

Alles falsch? Deine Erklärung versteh ich jedenfalls nicht ganz.

DmitriJakov aktiv_icon

19:21 Uhr, 15.11.2011

Also die Aufgabe ist schon recht komisch. Die Primfaktoren von

6825

sind:

3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13

Das sind also zunächst einmal 5 Teiler. Vielleicht sind noch Kombinationen der Prim Faktoren gemeint, die Teiler sind, also

z . B . :

3 \cdot 5 = 15

3 \cdot 7 = 21

3 \cdot 13 = 39

5 \cdot 7 = 35

Aber wie sollte da eine allgemeine Form lauten? Ist das eine Kombinatorik-Problem?

BabsSchnaps aktiv_icon

19:29 Uhr, 15.11.2011

Also um die Zahl

6825

geht es ja gar nicht, sondern um andere Zahlen, die

24

Teiler haben, sowie eben die

6825

.

Zum Beispiel

10725

. Da wäre die Primfaktorzerlegung

3 \cdot 5^{2} \cdot 11 \cdot 13

Also

2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2

Teiler

= 24

Teiler
Oder

600 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2}

Also

4 \cdot 2 \cdot 3

Teiler

= 24

Teiler

Bummerang

07:52 Uhr, 16.11.2011

Hallo,

wenn man von einer Zahl

n

(hier

6825)

die Primfaktorzerlegung kennt, dann sieht die allgemein so aus:

n = p_{1}^{k_{1}} \cdot p_{2}^{k_{2}} \cdot . .

\cdot p_{m}^{k_{m}}

Dii

p_{i} (i \in {1,2, ..., m})

sind Primzahlen mit

p_{i} \neq p_{j}

für

i \neq j

(bei

6825

ist das

3 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 13)

. Dann hat diese Zahl genau

(k_{1} + 1) \cdot (k_{2} + 2) \cdot ... \cdot (k_{m} + 1)

Teiler (bei

6825

also

(1 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 24

Teiler).

Was erkennt man daraus im Umkehrschluß? Jede Zahl mit

24

Teilern muß

k_{i} (i \in {1,2, ..., m})

besitzen, so dass

(k_{1} + 1) \cdot (k_{2} + 2) \cdot ... \cdot (k_{m} + 1) = 24

ist. Also ermitteln wir mal alle Zerlegungen der

24 :

24

2 \cdot 12; 2 \cdot 2 \cdot 6; 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

3 \cdot 8; 3 \cdot 2 \cdot 4; 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

schenke ich mir, gab es nämlich schon

4 \cdot 6; 4 \cdot 2 \cdot 3

schenke ich mir, gab es nämlich schon

Weitere Versionen mit

6, 8

oder

12

als ersten Faktor kann man sich schenken, die sind bereits oben aufgeführt. Ich hoffe nichts übersehen zu haben, also nachprüfen

Das gibt uns die 7 Möglichkeiten für die allgemeinen Primfaktorzerlegungen von Zahlen mit

24

Teilern:

p_{1}^{23}

p_{1} \cdot p_{2}^{11}

p_{1} \cdot p_{2} \cdot p_{3}^{5}

p_{1} \cdot p_{2} \cdot p_{3} \cdot p_{4}^{2}

p 1_{^} 2 \cdot p_{2}^{7}

p_{1}^{2} \cdot p_{2} \cdot p_{3}^{3}

p_{1}^{3} \cdot p_{2}^{5}

Und genau so etwas war gesucht!

EDIT: Noch eine (bisher nicht berücksichtigte) Zerlegung ergänzt.

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