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Analytische Zahlentheorie

Tags: Analytische Zahlentheorie

blabla12 aktiv_icon

21:54 Uhr, 23.04.2018

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass die Formel

(2 n)! \geq {(n!)}^{2} \cdot 2^{n}

für jede natürliche Zahl

n

gilt.

Ich habe mir überlegt, dass man das mit vollständiger Induktion beweisen kann. Scheitere aber am Induktionsschritt.

Vielen Dank schon mal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

22:14 Uhr, 23.04.2018

Hallo,

vermutlich solltest du zunächst zeigen, dass

2 n \cdot \dots \cdot (n + 1) > 2^{n} \cdot n!

bzw.

\frac{Π_{k = n + 1}^{2 n} k}{n!} > 2^{n}

.
Dazu kannst du

n! = Π_{k = 1}^{n} k

darstellen und damit

\frac{Π_{k = n + 1}^{2 n} k}{n!} = Π_{k = 1}^{n} \frac{n + k}{k}

.

Schlussendlich musst du also zeigen, dass

Π_{k = 1}^{n} \frac{n + k}{k} > 2^{n}

gilt, was auch induktiv sehr einfach ist.

Dann umformen bis zu der zu zeigenden Ungleichung!

Mfg Michael

Bummerang

10:25 Uhr, 24.04.2018

Hallo,

Es geht auch irgendwie einfacher...

Ind-anf:

n = 0

(2 \cdot 0)! = 0! = 1 \geq 1 = 1^{2} \cdot 1 = {(0!)}^{2} \cdot 2^{0}

Ind-vor:

\exists n \in ℕ

mit

(2 \cdot n)! \geq {(n!)}^{2} \cdot 2^{n}

Ind-beh: Dann gilt für

(n + 1) \in ℕ :

(2 \cdot (n + 1))! \geq {((n + 1)!)}^{2} \cdot 2^{n + 1}

Bew.der.Ind-beh:

Für

n \geq 0

gilt:

2 \cdot n^{2} \geq 0 \land 2 \cdot n \geq 0

\Rightarrow 2 \cdot n^{2} + 2 \cdot n \geq 0 | + (n^{2} + 2 \cdot n + 1) \cdot 2

\Rightarrow 4 \cdot n^{2} + 6 \cdot n + 2 \geq (n^{2} + 2 \cdot n + 1) \cdot 2;

Terme zusammenfassen

\Rightarrow (2 \cdot n + 1) \cdot (2 \cdot n + 2) \geq {(n + 1)}^{2} \cdot 2;

Anwendung der Ind-vor

\Rightarrow (2 \cdot n)! \cdot (2 \cdot n + 1) \cdot (2 \cdot n + 2) \geq {(n!)}^{2} \cdot 2^{n} \cdot {(n + 1)}^{2} \cdot 2;

Terme zusammenfassen

\Rightarrow (2 \cdot n + 2)! \geq {(n!)}^{2} \cdot {(n + 1)}^{2} \cdot 2^{n} \cdot 2

\Rightarrow (2 \cdot (n + 1))! \geq {((n!) \cdot (n + 1))}^{2} \cdot 2^{n + 1}

\Rightarrow (2 \cdot (n + 1))! \geq {((n + 1)!)}^{2} \cdot 2^{n + 1}

blabla12 aktiv_icon

09:56 Uhr, 25.04.2018

Vielen Dank!

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