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3 Personen auf 4 Plätze verteilen, im Auto

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik

tommy40629 aktiv_icon

14:07 Uhr, 17.08.2014

Hi,

ich bin mir nicht sicher, ob mein Lösungsweg richtig ist.

Aufgabe:

Wie viele Möglichkeiten haben 3 Reisende sich auf 4 Plätze eines Autos, inklusive des Fahrersitzes, zu setzen, wenn nur 2 der 3 einen Führerschein haben?

Ich habe mir die 3 Reisende als die Menge R vorgestellt.

R = {r_{1}, r_{2}, r_{3}}

Wir wollen nun ein 4-er Array(oder wie man das nennt) belegen:

(F a h r e r, B e i f a h r e r, h i n t e n L i n k s, h i n t e n R e c h t s)

Da nur 2 der 3 Reisenden fahren können, gibt es dafür

(\binom{3}{2}) = 3

Möglichkeiten eine Menge zu bilden. Wobei die beiden Elemente in der ersten und zweiten Elementsposition die Fahrer sind:

{r_{1}, r_{2}, r_{3}}

{r_{1}, r_{3}, r_{2}}

{r_{2}, r_{3}, r_{1}}

Das Folgende gilt für eine der 3 Mengen.
Um den Fahrersitz zu belegen, können wir aus 2 Fahrern einen wählen:

(\binom{2}{1}) = 2

Somit fehlt von 3 Reisenden einer. 3-1=2 Wir haben für den Beifahrersitz noch 2 Reisende zur Verfügung. Für den Beifahrersitz haben wir

(\binom{2}{1}) = 2

Möglichkeiten.

Jetzt steht noch ein Reisender zur Verfügung, der auf die 2 hinteren Sitze verteilt werden kann. Für den linken hinteren Sitz macht das

(\binom{1}{1}) = 1

Möglichkeiten.

Für eine Menge ergeben sich damit 2*2*1=4 Möglichkeiten.

Dies müssen wir mit 3 mal nehmen, weil wir 3 Mengen haben

= >

4*3=12 Möglichkeiten die 3 Reisenden auf die Sitze zu verteilen.

Mich stört es, dass ich den rechten hinteren Sitz aus der Rechnung herauslassen mußte. Aber wenn ich eine Person auf 2 Sitze verteilen soll, dann kann sie ja nur entweder auf dem rechten, oder auf dem linken sitzen.

Ich weiß nicht genau, wie ich das in die Rechnung mit reinbringen soll??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Matlog aktiv_icon

16:32 Uhr, 17.08.2014

Dein Ergebnis ist zwar richtig, die Begründung allerdings (für mich) völlig falsch!

"Da nur 2 der 3 Reisenden fahren können, gibt es dafür

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = 3

Möglichkeiten eine Menge zu bilden"
Hm, seltsam! Das hört sich für mich etwa so an:
Es gibt zwei Blanko-Führerscheine und dort können jetzt zwei Namen eingetragen werden.

"Mich stört es, dass ich den rechten hinteren Sitz aus der Rechnung herauslassen mußte."
Das stört Dich völlig zu Recht!

Meine Empfehlung, wie man vorgehen könnte:
Besetze den Fahrersitz, suche dann einen Platz für die andere Person mit Füherschein, weise zuletzt der füherscheinlosen Person einen Sitzplatz zu.

tommy40629 aktiv_icon

11:44 Uhr, 18.08.2014

Wir wissen doch nur, dass 2 der 3 Menschen einen Führerschein haben.

Da wir nicht wissen welcher einen Führerschein hat, errechnen wir alle Möglichkeiten, wie man die 2 Führerscheine auf 3 Leute verteilen kann.

Wenn wir wissen, wer genau einen Führerschein hat, dann kennen wir ja eine der 3 Möglichkeiten die Führerscheine zu verteilen.

Edddi aktiv_icon

12:22 Uhr, 18.08.2014

Es wird hier wohl so sein, dass es für den Fahrersitz nur 2 Möglichkeiten gibt, da ja auch nur 2 Personen einen FS besitzen.

Für jede dieser Möglichkeiten bleiben dann eben für die restlichen 2 Personen 3 Sitzplätze übrig.

Macht

2 \cdot 3! = 12

;-)

anonymous

12:24 Uhr, 18.08.2014

Danke, Edddi, dass du Tommys Hausaufgaben gemacht hast.

Matlog aktiv_icon

12:29 Uhr, 18.08.2014

@tommy40629:
Nein, welche der drei Personen einen Führerschein haben, hat gar nichts mit Zufall zu tun.
Es könnte theoretisch so sein, dass man nicht weiß, wer einen Führerschein hat (das ändert nichts an der Anzahl der Besetungsmöglichkeiten des Autos, die nicht gegen die Straßenverkehrsordnung verstossen).

Du kannst doch nicht "auslosen" (unter allen), wer der Fahrer sein soll!?
Dann sind Möglichkeiten dabei, wo der Fahrer keinen Führerschein hat.

tommy40629 aktiv_icon

12:39 Uhr, 18.08.2014

Ich weiß, dass es kein Zufall ist, wer einen Führerschein hat.

Wir können aber doch alle Möglichkeiten berechnen, wenn wir 3 Menschen gegeben haben und wir wissen, dass 2 davon einen Führerschein haben.

Dann rechnen wir

(\binom{3}{2}) = 3

Dann haben wir 3 Möglichkeiten, wie die Führerscheine verteilt sein können.

Möglichkeiten haben doch nix mit Zufall zu tun oder?
Mit Zufall kenne ich mich aber auch noch nicht aus.

Matlog aktiv_icon

12:54 Uhr, 18.08.2014

Führerscheine kann man nicht verteilen (außer am Schwarzmarkt)!
2 Personen haben einen, eine nicht.
In Deinen

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = 3

Möglichkeiten der Besetzung des Fahrersitzes ist definitiv eine dabei, wo der Fahrer keinen Führerschein besitzt.
Mach Dir das klar!

overmars2 aktiv_icon

13:04 Uhr, 18.08.2014

Du könntest einfach, da der leere Platz sich einfach aus den anderen drei Personen ergibt, einen Leerfahrer hinzunehmen. Nun ist die Aufgabe: Platziere vier Personen auf vier Sitze im Wagen, also

4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

.

Da jedoch auf dem Fahrerplatz nur 2 statt vier Personen sitzen können, ändert es sich zu

2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 12

.

Und schon bist du fertig :-)

tommy40629 aktiv_icon

13:17 Uhr, 18.08.2014

@ Matlog:

Bei den 3 Möglichkeiten, wer einen Führerschein haben kann, da geht es nur um die 2 Leute, die man mit den 2 Führerscheinen ausstatten kann.

Ich hatte das ja dann auch als Mengen geschrieben, wo jeweils das 1. und das 2. Element einen Führerschein haben.

Und den Fahrersitz kann man dann ja nur mit diesen 2 Leuten belegen.

Und diese 2 Leute haben immer auf alle Fälle einen Führerschein, weil sie ja immer aus einer dieser Teilmengen, der 2 Leute, die einen Führerschein haben bestehen.

Deshalb ja auch

(\binom{3}{2}) = 3

Möglichkeiten 2 Leuten den Führerschein zu geben.

Matlog aktiv_icon

17:38 Uhr, 18.08.2014

Dass ich um

12 : 54

Uhr Deine Rechnung

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = 3

benutzt habe war unsinnig, weil es nicht zu meinem Argument passt.
Ich hätte sagen müssen: Bei

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = 3

Möglichkeiten den Fahrersitz zu besetzen ist garantiert eine, wo einer ohne Führerschein fahren muss.

Das ändert aber nichts daran:
DU KANNST KEINE FÜHRERSCHEINE VERTEILEN!
(Ich kann es jedenfalls nicht, da ich keine Verbindung zu Fälschern habe.)

Von Deinen drei Anfangsfällen gibt es also nur einen, da zwei spezielle Personen einen Führerschein haben, eine nicht. Die können ihre Führerscheine NICHT austauschen!

Und nebenbei:
Eine Reihenfolge der Elemente einer MENGE gibt es nicht.
Wenn es eine Reihenfolge gibt, spricht man von geordneten Paaren, Tripeln, n-Tupeln.

tommy40629 aktiv_icon

17:57 Uhr, 19.08.2014

Ah, n-Tupel, also 3-Tupel, war der Begriff, der mir nicht eingefallen ist.

Dann Dank an Alle!

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