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3 Punkte auf einer Ebene?

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Vektor Ebene

nooob2 aktiv_icon

20:43 Uhr, 08.10.2016

Hallo,

habe folgende Punkte. Sollte als erstes Prüfen ob die Punkte auf einer Geraden liegen. Sie liegen nicht alle auf einer Geraden. Jetzt soll ich herausfinden ob die drei Punkte auf einer Ebene liegen.

A=(1,2,3)
B=(2,-1,0)
C=(1,-5,3)

x = A + y * A B + z * A C

x = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + y * (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + z * (\begin{array}{rcl} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{array})

Hieraus bilde ich 3 Gleichungen

1.

1 + 1 y = 0

2 - 1 y - 7 z = 0

3 + 3 y = 0

y = - 1

z = 3 / 7

y = - 1

Also liegen meine 3 Punkte nicht auf einer Ebene? Habe ich dies so richtig gelöst? Habe es auch gezeichnet. Was genau bedeutet es denn er 3 Punkte auf einer Ebene liegen?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

20:48 Uhr, 08.10.2016

"Also liegen meine 3 Punkte nicht auf einer Ebene?"
Wie soll das denn gehen ?

nooob2 aktiv_icon

20:49 Uhr, 08.10.2016

Was heißt den "auf einer Ebene"?

Respon

20:51 Uhr, 08.10.2016

Durch drei Punkte wird eine Ebene definiert. Es sei den

. .

nooob2 aktiv_icon

20:52 Uhr, 08.10.2016

Es sei denn, sie liegen alle auf einer Geraden?

Respon

20:53 Uhr, 08.10.2016

Dann liegen sie auf unendlich vielen Ebenen.

nooob2 aktiv_icon

20:55 Uhr, 08.10.2016

Wenn meine drei Punkte A,B und C auf einer Ebene liegen sollten, muss ich ja irgendetwas falsch gemacht haben?

Stephan4

20:56 Uhr, 08.10.2016

Diese 3 Punkte liegen sicher auf einer Ebene. Und falls sie nicht auf einer Geraden liegen, ist es eine einzige Ebene auf der sie liegen.
Sollten die 3 Punkte auf einer Geraden liegen, dann liegen sie auf allen Ebenen, auf der diese Gerade liegt.

Parameterform der Ebene:

\vec{X} = A + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A C}

\vec{X} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix})

r, s

sind die Parameter.

\vec{A B}

und

\vec{A C}

sind die Richtungsvektoren.

Genaueres und weiteres siehe hier:

de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Analytische_Geometrie#Ebenen

:-)

Respon

20:59 Uhr, 08.10.2016

Mit deinem Gleichungssystem ganz oben würdest du nur überprüfen, ob der Koordinatenursprung auf der Ebene liegt.

nooob2 aktiv_icon

21:05 Uhr, 08.10.2016

Und wie überprüfe ich ob 3 Punkte auf einer Ebene liegen? Was mache ich denn nun mit der Parameterform?

Respon

21:10 Uhr, 08.10.2016

Die Frage ist eigenartig.
Wenn du eine Ebene vorgegeben hast und drei Punkte, dann kannst du überprüfen, ob die Punkte auf besagter Ebene liegen.
Wenn du nur drei Punkte gegeben hast ( die nicht auf einer Geraden liegen

),

dann wird dadurch eine einzige Ebene eindeutig definiert.

nooob2 aktiv_icon

21:18 Uhr, 08.10.2016

Hier die offizielle Aufgabenstellung:
Überprüfen Sie, ob die Punkte A=(1,2,3) B=(2,-1,0) C=(1,-5,3)

a) auf einer Geraden liegen
b) auf einer Ebene liegen

So, wäre trotzdem mega nett zu wissen wie ich jetzt mit meiner Parameterform vorzugehen habe.

Respon

21:21 Uhr, 08.10.2016

Wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen, dann liegen sie natürlich auf einer Ebene ( sie bilden eine Ebene ). Da muss man nichts mehr rechnen.

nooob2 aktiv_icon

21:37 Uhr, 08.10.2016

Können wir denn nur als Beispiel das nicht einmal durchrechnen? Habe noch eine solche Aufgabe vor mir deswegen wüsste ich schon gerne wie ich des nun mache.

Roman-22

21:39 Uhr, 08.10.2016

Also dass drei Punkte IMMER auf einer Ebene liegen, sollte mittlerweile klar sein. Genauer könnte man formulieren, dass sie auf mindestens einer Ebene liegen, denn wie schon ausgeführt wurde, könnte es mehrerer Ebenen geben, die alle drei Punkte enthalten.
Jedenfalls wäre das alles, was man bei

b)

hinschreiben müsste. Eine Rechnung ist nicht vonnöten.

>

So, wäre trotzdem mega nett zu wissen wie ich jetzt mit meiner Parameterform vorzugehen habe.
An deiner Parameterform irritieren mich ein wenig die Bezeichner.

x

steht für einen Vektor im

ℝ^{3},

aber

y

und

z

sind gewöhnliche Parameter aus

ℝ

. Aber so sei es.

Du hast, als du dein Gleichungssystem aufgestellt hattest, anstelle von

x

den Vektor

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

gesetzt. Damit versucht man festzustellen, ob es Parameter

y

und

z

so gibt, dass deine Paramterform den Vektor

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

ergibt.
Und du hast tatsächlich herausgefunden, dass sich dieser Vektor mit

y = - 1

und

z = \frac{3}{7}

einstellt. Damit hattest du gezeigt, dass der Ursprung

(0 / 0 / 0)

in der Ebene liegt, die durch die drei Punkte

A, B

und

C

aufgespannt wird. Das Ergenis hatte sich aber nur deswegen eingestellt, weil einer deiner Richtungsvektoren falsch war. In Wirklichkeit liegt der Ursprung nicht in der Ebene ABC.

Was du machen möchtest ist recht überflüssig. Du stellt mithilfe dreier Punkte eine Ebenengleichung auf und möchtest dann überprüfen, ob diese drei Punkte in dieser Ebene liegen! Natürlich tun sie das, sofern du dich bei, Aufstellen der Gleichung nicht verrechnet hast.
Also sehen wir es halt als Probe an.

Wir haben

\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{matrix}) + z \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix})

Nun überprüfen wir exemplarisch, ob

B (2 / - 1 / 0)

in dieser Ebene liegt (für A wäre diese Überprüfung zu trivial, das sich A als Stützpunkt klarerweise für

y = z = 0

einstellt().

Gibt es also zwei reelle Zahlen

y

und

z

derart, dass

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{matrix}) + z \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

gilt? Das sind drei Gleichungen in nur zwei Unbekannten

y

und

z

. Das kann gut gehen (wenn

B

in der Ebene liegt), kann aber auch auf einen Widerspruch führen, wenn der Punkt nicht in der Ebene liegt.

Löse also das Gleichungssystem

1 + y = 2

2 - 3 y - 7 z = - 1

3 - 3 y = 0

Aus der ersten Gleichung folgt sofort

y = 1

.
Das in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt

z = 0

Und nun haben wir "Glück" - die dritte Gleichung ist erfüllt, wenn wir die aus den ersten beiden Gleichungen ermittelten Werte für

y

und

z

einsetzen. Fazit: der Punkt

B

liegt in der Ebene, die durch deine Parameterdarstellung gegeben ist.

R

Stephan4

21:48 Uhr, 08.10.2016

Wie man die Parameterform bildet, habe ich bereits oben gezeigt.

Bilde das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, denn das ist der Normalvektor

\vec{n}

der Ebene.

Sollte da

0,0,0

raus kommen, dann gibt es keine eindeutige Ebene, was bedeutet, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen.

Im Konkreten:

(\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ - 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ - 7 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 21 \\ 0 \\ - 7 \end{matrix}) = \vec{n}

Die parameterfreie Form geht mit dieser Formel:

\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A}

Hier vorgerechnet:

(\begin{matrix} - 21 \\ 0 \\ - 7 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 21 \\ 0 \\ - 7 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

- 21 x + 0 y - 7 z = - 42

oder

3 x + z = 6

Probe: Setze

A, B

und

C

ein.

:-)

Roman-22

21:57 Uhr, 08.10.2016

Auch ich finde die parameterfreie Form besser geeignet, aber der Wunsch war doch explizit
"wäre trotzdem mega nett zu wissen wie ich jetzt mit meiner Parameterform vorzugehen habe"

nooob2 aktiv_icon

22:17 Uhr, 08.10.2016

Ahh mega vielen Dank an Stephan4 und Roman-22 habe alles verstanden und es hat geklappt!

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