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3 aus 5 - Anzahl Möglichkeiten

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Tags: Kombinatorik

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13:50 Uhr, 20.09.2019

Hallo,

ein Unternehmen hat 5 Fahrzeuge.

A :

Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass 3 davon funktionsfähig sind?

B :

Wie veile Möglichkeiten gibt es, dass mind. 3 davon funktionsfähig sind?

C :

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 3 Fahrzeuge funktionsfähig sind (wenn die Wahrscheinlichkeit

90 %

beträgt, dass ein Fahrzeug funktionsfähig ist und die Funktionsfähigkeit eines Fahrzeuges nicht von der Funktionsfähigkeit des anderen Fahrzeuges abhängig ist)?

A :

Man muss ja berechnen wie viele Möglichkeiten es gibt 5 Fahrzeuge auf 3 Funktionsfähigkeiten und 2 Defekte

d . h

. 5 Plätze zu verteilen. Dabei spielt die Reihenfolge eine Rolle und es wird nicht zurückgelegt:

\to \frac{5!}{(5 - 5)!} = 120

.
Nun ist es aber doch egal ob

F 1

auf Funktionsfähigkeiten 1 und

F 2

auf Funktionsfähigkeiten 2 oder

F 2

auf Funktionsfähigkeiten 1 und

F 1

auf Funktionsfähigkeiten 2 liegt.

D . h

. ich muss davon "abziehen" wie viele Möglichkeiten es jeweils gibt die 3 Fahrzeuge auf dem funktionsfähigen Plätzen untereinander zu vertauschen

\to 3 \neq 6

bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt die 2 Fahrzeuge auf den 2 Defekten untereinander zu vertauschen

\to 2 \neq 2

\to \frac{120}{6 + 2} = 15

Allerdings rätsel ich nun schon eine gute Stunde herum und ich bin mir echt unsicher ob diese Lösung richtig ist. Daher wollte ich euch mal fragen ob meine Lösung richtig ist und wie man am Besten an eine solche Aufgabe heran geht. Irgendwie tue ich mir schwer auf solche Beispiele die in der Vorlesung hergeleiteten Formeln für die Fälle: "Mit Zurücklegen und mit Reihenfolge", "Mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge", "Ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge", "Ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge" anzuwenden.

Danke vorab :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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14:03 Uhr, 20.09.2019

A) (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = 10

Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

B) X \geq 3

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix})

c) P (X \geq 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5)

Binomialverteilung;

n = 5, p = 0,9, k \in {3,4,5}

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14:14 Uhr, 20.09.2019

Danke, also nachvollziehen kann ich es.

Aber ich tue mir schwer da selber drauf zu kommen. Irgendwie denke ich mich in die Aufgaben immer viel zu sehr rein - obwohl es ja eigentlich nur Einsetzen in die passende Formel ist.

Kann ich mit Hilfe der 4 oben genannten Fällen/Formeln alle Kombinatorikaufgaben lösen?

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14:21 Uhr, 20.09.2019

Nein. Es kommt immer auf die Aufgabe an.
Du musst dir den Sachverhalt genau vorstellen.
Warum sollte hier die Reihenfolge eine Rolle spielen?

vgl:
www.mathebibel.de/kombinatorik

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14:34 Uhr, 20.09.2019

Ich hatte oben des Ansatz die 5 Fahrzeuge auf 3 Funktionsfähikeits-Plätze und 2 Defekt-Plätze zu verteilen.

D . h

. Plätze 1 bis 3 sind Funktionsfähikeits-Plätze und 4 bis 5 sind Defekt-Plätze. Dann würde es ja einen Unterschied machen ob ich

z . B

. Fahrzeug 1 auf Platz 1 und Fahrzeug 2 auf Platz 4 oder Fahrzeug 1 auf Platz 4 und Fahrzeug 2 auf Platz 1 anordne.
Allerding ist das im Nachhinein betrachet ein konplett falscher Ansatz, da ich ja dann davon ausgehe, dass alle 5 Plätze verschieden sind (das wäre ja der Fall wenn ich

z . B

. sagen würde ich habe 5 Fahrzeuge mit 5 verschiedenen Defekten, wie viele Möglichkeiten gibt es die Fahrzeuge den Defekten zuzuordnen). Hier sind aber nur die 3 Funktionsfähikeits-Plätze von Interesse

d . h

. ich muss schauen wie viel Möglichkeiten es gibt jeweils 3 der 5 Autos auf die 3 Funktionsfähikeits-Plätze zu verteilen. Dabei ist es natürlich egal, auf welchem der 3 Plötze das Auto steht.

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14:39 Uhr, 20.09.2019

Von Plätzen ist in der Angabe keine Rede.
Es geht um Fahrzeuge, der defekt sind oder nicht.

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14:56 Uhr, 20.09.2019

Ja, aber ich stelle mir die "Zahl der zu wählenen Elemente" immer als Plätze vor ;-)

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15:04 Uhr, 20.09.2019

Wieso?
Es geht doch hier nur darum eine bestimmte Anzahl aus 5 auszuwählen.
Bei A ist das wie Lotto 3 aus 5.

Der Binomialkoeffizient kommt ihn unterschiedlichen Kontexten vor.
Er gibt natürlich auch die Möglichkeiten an,

z . B

. 3 Elemente in einer 5-er Reihe
anzuordnen, wenn nur 2 Sorten von nichtunterscheidbaren Elementen vorkommen.

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15:28 Uhr, 20.09.2019

"Es geht doch hier nur darum eine bestimmte Anzahl aus 5 auszuwählen.
Bei A ist das wie Lotto 3 aus 5."

Weiß nicht genau. In diesem Fall würde ich mir

z . B

. vorstellen ich habe 3 Plätze und ein Topf mit 5 Zahlen. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun die 3 Plätze mit den Zahlen zu besetzen.
Ist das zu stark um die Ecke gedacht? xD

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15:58 Uhr, 20.09.2019

Bei Plätzen denkt man immer an Reihenfolge. Um die geht es aber hier nicht.
Du machst es unnötig kompliziert und eröffnest damit Fehlerquellen, wie deine Ergebnisse zeigen.

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16:07 Uhr, 20.09.2019

D . h

. einfacher wäre es sich vorzustellen, dass ich 5 Fahrzeuge habe und 3 davon (nämlich die die funktionsfähig sind) ankreuzle. Die Anzahl der Möglichkeiten sind dann die unterschiedlichen Anordnungen der 3 Kreuzchen.
Daran sehe ich dann auch, dass es ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge ist.

Bei Aufgabe

B

muss ich mir das Ganze dann einmal mit

3, 4

und 5 Kreuzchen vorstellen. Und dann die sich ergebenden Möglichketien einfach aufaddieren.

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16:12 Uhr, 20.09.2019

Ja. :-)

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16:21 Uhr, 20.09.2019

Ok, dann vielen Dank für deine Unterstützung!

Mal sehen ob das nach etwas mehr Übung noch etwas wird mit mir und der Kombinatorik :-D).

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