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3x3 Matrix mit verschiedenen Variablen invertieren

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Invertieren, Invertion, Matrix, Matrizenrechnung

Light Yagami aktiv_icon

00:26 Uhr, 17.10.2012

Hallo, ich soll die Inverse

A^{- 1}

der Matrix

A

bilden.

A = (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a ² & b ² & c ² \end{array})

, mit

a, b, c

beliebige, paarweise verschiedene, reelle Zahlen.

Mir ist bekannt, dass man Zeilen untereinander addieren und muliplizieren kann.

Leider komme ich hier auf keinen Ansatz.
Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

pivot aktiv_icon

02:13 Uhr, 17.10.2012

Hallo,

du sollst mit den Variablen die Matrix invertieren. Dazu erweiterst du deine Matrix um die Einheitsmatrix (siehe Bild). Jetzt versuchst du aus deiner Matrix eine Einheitsmatrix zu machen. Deswegen wäre dein erstes Pivotelement die 1 (erste Zeile, erste Spalte). Bei dieser ersten Operation wird die 1. Spalte der Einheitsmatrix "zerstört". Dagegen hat dann deine Ausgangsmatrix in der ersten Spalte (1,0,0) stehen.

Das nächste Pivotelement wäre dann die Stelle, an der jetzt b steht.

usw.

Es kommen ziemlich unhandliche Ausdrücke am Ende zustande.
So habe ich z.B. ganz unten rechts folgenden Ausdruck stehen:

siehe ebenfalls Bild.

Grüße,

pivot.

Light Yagami aktiv_icon

03:08 Uhr, 17.10.2012

Hallo, vielen Dank für deine Antwort!
Bisher habe ich immer nur die Operation ausgeführt, dass ich eine Zeile von einer anderen abziehe oder eine Zeile zu einer anderen addiere (bzw. jeweils das Vielfache der Zeile) oder dass ich lediglich das Vielfache einer Zeile an sich genommen habe.

Deinem Beitrag entnehme ich jetzt, dass ich diese Operationen auch für Spalten durchführen kann und dass man einzelne Spalten (also auch Zeilen?) ebenso durch eine beliebige Zahl (bzw. Variable) dividieren kann - Ist das so richtig?

Wenn dies wahr ist, würde ich also zunächst folgendermaßen vorgehen:

1. Erweiterung durch die Einheitsmatrix

I_{n}

[A ∣ I_{n}] = (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 & ∣ & 1 & 0 & 0 \\ a & b & c & ∣ & 0 & 1 & 0 \\ a ² & b ² & c ² & ∣ & 0 & 0 & 1 \end{array})

2. Um

a_{21}

auf

0

zu setzen, führe ich aus:

\frac{S_{1}}{a}

\Rightarrow (\begin{array}{rcl} \frac{1}{a} & 1 & 1 & ∣ & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & b & c & ∣ & 0 & 1 & 0 \\ a & b ² & c ² & ∣ & 0 & 0 & 1 \end{array})

2. Um

a_{31}

ebenfalls auf

0

zu setzen &

a_{11}

wieder auf 1 zu setzen führe ich aus:
2.1

S_{1} \circ a

(dieser Zwischenschritt wird unten übersprungen)
2.2

\frac{S_{1}}{a ²}

(dieser Zwischenschritt wird unten übersprungen)
2.3

S_{1} \circ a ²

\Rightarrow (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 & ∣ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & b & c & ∣ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & b ² & c ² & ∣ & 0 & 0 & 1 \end{array})

Sind meine Schlussfolgerungen und Operationen bis hierhin (mathematisch) korrekt?
Ich glaube eher nicht, dass ganze erscheint mir auf diese Weise nämlich ziemlich trivial.

pivot aktiv_icon

04:31 Uhr, 17.10.2012

Hallo Light Yagami,

Du schreibst:
"Bisher habe ich immer nur die Operation ausgeführt, dass ich eine Zeile von einer anderen abziehe oder eine Zeile zu einer anderen addiere (bzw. jeweils das Vielfache der Zeile) oder dass ich lediglich das Vielfache einer Zeile an sich genommen habe."

Genauso sollst du es auch machen. Dein restlichen Beitrag kann ich leider nicht ganz nachvollziehen. Ich glaube du bist von dem was du schon kannst irgendwie ein bisschen abgekommen.

Bei der ersten Iteration willst du ja, dass die 1. Spalte so aussieht

(1, 0, 0)^{T}

. Man will ja, dass deine Ausgangsmatrix (linke Seite der erweiterten Matrix) zur Einheitsmatrix wird.

Die erweiterte Matrix sieht schon mal gut aus. Damit jetzt

a_{21}

Null wird, musst du das a-fache der 1. Zeile von der zweiten Zeile abziehen.

Es ergeben sich folgende Rechnungen für die 2. Zeile. Die erste Zeile bleibt ja wie sie ist:

a_{21}

: a-a*1=0

a_{22}

: b-a*1=b-a

a_{23}

: c-a*1=c-a

a_{24}

: 0-a*1=-a

a_{25}

: 1-a*0=1

a_{26}

: 0-a*0=0

3. Zeile
Um bei

a_{3} 1

eine Null zu bekommen, muss man das

a^{2}

-fache der 1. Zeile von der dritten Zeile abziehen.

a_{31} : a^{2} - a^{2} * 1 = 0

a_{32} : b^{2} - a^{2} * 1 = b^{2} - a^{2}

usw.

Im Prinzip ist das ganz normaler Gaußalgorithmus wie du ihn schon beschrieben hast.
Ich hoffe du kannst jetzt die restlichen Elemente für die 1. Iteration berechnen.

Bei der 2. Iteration wäre dein Pivotelement

a_{22}

. Hier gehst du analog vor. Die Ausdrücke werden jetzt nur größer. Bei der 3. Iteration noch viel größer. Das siehst du ja an meinem Ausdruck für

a_{36}

nach der 3. Iteration was ich schon als Anhang gepostet hatte.

Grüße,

pivot.

Light Yagami aktiv_icon

13:44 Uhr, 17.10.2012

Hallo pivot,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort und Erläuterung.

Ja, was ich da oben geschrieben habe ist hinreichend Unsinn. Ich habe die Spalte durch eine die Variable multipliziert und dividiert, was ja so nicht möglich ist.

Deine Antwort habe ich schon heute früh gelesen (vor deiner LaTeX-Bearbeitung - danke nochmal für den Aufwand) und direkt auf dem Weg zur Uni gerechnet. Mein Ergebnis sollte nun insoweit korrekt sein.

Dieses Ergebnis erhalte ich nach der 1. Iteration:
(Kurze Zwischenfrage: Eine Iteration ist also der Weg, um eine Spalte von

A

in die der Einheitsmatrix §A{-1}§ zu versetzen, dabei gibt es also immer ein "Pivotelement", einen Dreh- und Angelpunkt, durch welchen man diese Iteration erreicht - habe ich das so richtig verstanden? Ich glaube langsam wird mir das Verfahren klar. :-) )

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 & ∣ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & b - a & c - a & ∣ & - a & 1 & 0 \\ 0 & b ² - a ² & c ² - a ² & ∣ & - a ² & 0 & 1 \end{array})

Und nun setzt die 2. Iteration ein, richtig? Ich will also die 2. Spalte auf

(010)^{T}

setzen.
Also fange ich mit dem Pivotelement

a_{22}

an, indem ich es auf

1

setze, richtig?

Die Operation wäre als:

Z ´_{2} = \frac{Z_{2}}{(b - a)}

(Anmerkung: Ich hoffe man darf dividieren?)

\Rightarrow (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 & ∣ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{c - a}{b - a} & ∣ & \frac{- a}{b - a} & \frac{1}{b - a} & 0 \\ 0 & b ² - a ² & c ² - a ² & ∣ & - a ² & 0 & 1 \end{array})

Anschließend soll das Element

a_{32}

auf

1

gesetzt werden.

Die Operation wäre als:

Z ´_{3} = Z_{3} - Z_{2} * (b^{2} - a^{2})

\Rightarrow (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 & ∣ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{c - a}{b - a} & ∣ & \frac{- a}{b - a} & \frac{1}{b - a} & 0 \\ 0 & 0 & c ² - a ² - ((\frac{c - a}{b - a}) * (b ² - a ²) & ∣ & - a ² - ((\frac{- a}{b - a}) * (b ² - a ²)) & 0 - ((\frac{1}{b - a}) * (b ² - a ²)) & 1 \end{array})

Das ganze sieht ja jetzt schon ziemlich mächtig aus... Die einzelnen Elemente in

Z_{3}

müsste ich als nächstes noch ausmultiplizieren und kürzen.
Zunächst würde ich mich allerdings über eine Rückmeldung freuen, ob bis hier hin alles korrekt ist. :-)

pivot aktiv_icon

07:11 Uhr, 18.10.2012

Hallo.

Hatte schwere Verbindungsprobleme. Habe lange versucht das Problem zu lösen. Die Lösung war Router aus- und einzuschalten. Oh Mann!?

Deine erste Iteration ist richtig. Perfekt.

Bei der 2. Iteration ist bei dir die 2. Spalte nicht (0,1,0), wenn ich das richtig sehe. Das muss aber so sein. Hast du ja auch selber geschrieben.

Bei einigen Elementen habe ich das Gleiche heraus. Jedoch bei einigen auch nicht.
Bei

a_{15}

a_{35}

a_{13}

a_{33}

a_{14}

habe ich etwas anderes heraus, wenn ich das richtig überblicke. Da solltest du nochmal nachrechnen.

Grüße,

pivot.

Light Yagami aktiv_icon

10:19 Uhr, 18.10.2012

Hallo pivot,
danke für deine Antwort! Kein Problem, ich fiel gestern sowieso totmüde ins Bett.
Ich denke, du hast andere Werte, da ich die 2. Iteration noch nicht beendet habe, hier erstmal die Matrix nach dem Vereinfachen:
(Damit es besser überblickbar ist, habe ich lange Elemente in einer extra Klammer zusammengefasst.)

\Rightarrow (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 & ∣ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{c - a}{b - a} & ∣ & \frac{- a}{b - a} & \frac{1}{b - a} & 0 \\ 0 & 0 & (\frac{a ³ - a ² * c - b ² * c + a * b ²}{- a + b} - a ² + c ²) & ∣ & (\frac{a ³ + a * b ²}{- a + b} - a ²) & - 1 & 1 \end{array})

So und um die 2. Iteration abzuschließen muss

a_{12}

noch auf

0

gesetzt werden.

Ich führe folgende Opration aus:

Z ʹ_{1} = Z_{1} - Z_{2}

\Rightarrow (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 1 - \frac{c - a}{b - a} & ∣ & 1 - \frac{- a}{b - a} & 0 - \frac{1}{b - a} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{c - a}{b - a} & ∣ & \frac{- a}{b - a} & \frac{1}{b - a} & 0 \\ 0 & 0 & (\frac{a ³ - a ² * c - b ² * c + a * b ²}{- a + b} - a ² + c ²) & ∣ & (\frac{a ³ + a * b ²}{- a + b} - a ²) & - 1 & 1 \end{array})

Das ist nun meine Matrix nach der 2. Iteration, stimmt diese mit deiner Lösung überein?
Das wäre super. :-)

Als nächstes muss also die 3. Iteration durchgeführt werden.
Wenn ich mir dein Element

a_{36}

ansehe, dann stimmt der Teil unter dem Bruch doch ziemlich mit meinem

a_{33}

überein, ich nehme an, du hast

a^{3} - a^{2} * c - b^{2} * c + a * b^{2}

noch ausgeklammert?

Ist

a^{3} - a^{2} * c - b^{2} * c + a * b^{2} \overset{}{\Leftrightarrow} (b ² - c ²) * (c - a)

?

Aber was wäre jetzt mein nächstes Pivotelement?

Ich würde jetzt die Operation:

Z ʹ_{3} = \frac{Z_{3}}{(\frac{a ³ - a ² * c - b ² * c + a * b ²}{- a + b} - a ² + c ²)}

Damit wäre

a_{33} = 1

Ich warte aber mal auf Rückantwort. :-)

pivot aktiv_icon

07:10 Uhr, 19.10.2012

Hallo,

deine Matrix sieht schon mal ganz gut aus. Einigermaßen sichere Aussagen kann ich eigentlich nur über die Ausdrücke machen, die noch einigermaßen überschaubar sind.
Schon bei den relativ simplen Ausdrücken habe ich etwas anderes stehen. Ein Beispiel:

a_{15}

:
Du hast:

- \frac{1}{b - a}

Ich habe:

\frac{1}{a - b}

Das ist natürlich das Gleiche. Bei größeren Ausdrücken ist es sehr sehr aufwendig zu vergleichen. Des Weiteren kann ich mich auch dann verrechnen. Ich schreibe mal die Elemente auf bei denen ich etwas anderes raus habe und es auch klar ist, dass es tatsächlich was anderes ist:
Das ist nur das Element

a_{35}

. Hier habe ich a-b(gekürzt) heraus.

Bei

a_{33}

und

a_{34}

habe ich auch andere Ausdrücke heraus:

So habe ich für

a_{34}

a*b heraus. Meine Rechnung hierzu ist:

- a^{2} - \frac{(b - a)^{2} * (- a)}{b - a}

Dritte binomische Formel auf

(b - a)^{2}

angewendet. Somit kann man kürzen. Der Nenner fällt weg. Im Zähler bleibt:-(b+a)*(-a)
Wenn man das mit

- a^{2}

verrechet bleibt am Ende nur noch (-a)*(-b)=ab übrig.

Wie gesagt du bist auf einem guten Weg. Um zu überprüfen, ob deine Ergebnisse nach der 3. Iteration stimmen, kannst du die Inverse mit konkreten Zahlen durchführen.
Sinnvolle Werte wären meiner Meinung nach: a=2, b=3,c=5
Diese Matrix

1,1,1
2,3,5
4,9,25

invertieren. Kann man ja auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm machen:

Formel dafür: minv(a1:c3)
Erst 3x3-Bereich markieren und die Formel eingeben.

Dann Shift und STRG-Taste drücken und festhalten. Dann Enter drücken.

Diese Ergebnisse müssen mit deinen parametrischen Ergebnissen übereinstimmen, wenn du für a,b und c die entsprechenden Werte einsetzt.

Ich kann mich nur wiederholen. Im Großen und Ganzen sieht das sehr gut aus.

Grüße,

pivot.

Light Yagami aktiv_icon

12:36 Uhr, 24.10.2012

Hallo, danke für die Antwort!
Tut mir leid, dass ich erst jetzt schreibe, ich hatte leider einiges um die Ohren.

Ich habe die Aufgabe durchgerechnet und letzten Freitag eingereicht, ich werde im Laufe der nächsten Tage mal die Korrektur (falls ich eine erhalte) online stellen bzw. mein Ergebnis auch.

Da ich es nicht abgescant hatte und das ganze ziemlich komplex wurde, konnte ich es leider nicht hochladen.

"pivot hat mir gut geholfen" :-)

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