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4 Punkte, was ist die kürzeste Strecke?

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Geradengleichung, kürzeste Strecke, Punkt

basti-basti aktiv_icon

09:24 Uhr, 13.03.2015

Hallo zusammen,
ich hoffe mir kann einer helfen. Stehe total auf dem Schlauch.
Meine Aufgabe lautet:
Es sind vier Punkte gegeben

A (0 | 6),

B(2/?), C(2,5/?) und

D (3,5 | 0)

.
Es soll die kürzeste Strecke zwischen ABCD gefunden werden, wobei BC eine horizontale zur x-Achse sein sollte.
Ich habe bisher berechnet, dass die kürzeste Strecke zwischen (bei BC) der Höhe

\frac{18}{7}

und

\frac{12}{7}

liegen muss. Komme aber nicht weiter, wie ich jetzt die tatsächliche kürzeste Strecke berechne.
Danke für eure Hilfe!
Viele Grüße
Basti

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

10:03 Uhr, 13.03.2015

Hallo
Du schreibst "Fragezeichen". Gib doch mal der gesuchten Größe einen Namen.

Z . B

. gib ihr den Namen "y".
Dann:
Wie groß ist die Strecke AB ?
Wohl gemerkt, zunächst noch in Abhängigkeit der Höhe

y,

also: s_(AB)

= f (y)

Wie groß ist die Strecke BC ?
Das ist ganz einfach.

Wie groß ist die Strecke CD ?
Das ist genauso einfach wie oben AB.

"Es soll die kürzeste Strecke zwischen ABCD gefunden werden"
Nun, das verstehe ich nicht mit letzter Sicherheit.
Ist die Summe der drei Strecken gemeint?
Falls ja: Na dann, wie groß ist die Summe der 3 Strecken?

"Es soll die KÜRZESTE

. .

. gefunden werden"
Nun denn, das ist eine Extremwertaufgabe.
Für welchen Wert der Höhe

h

wird die Summe

f (y)

extrem (klein)?

basti-basti aktiv_icon

10:49 Uhr, 13.03.2015

Aller klar, danke für deinen Tipp.

\Rightarrow B (2 | y)

und

C (2,5 | y)

Also als erstes s_AB:

d=√((0-2)²+(6-y))= √(y²-12y+40)

d_BC=

0,5

d_CD= √(1+y²)

Jetzt addiere ich alle drei Distanzen:

s_ABCD= √(y²-12y+40)+0,5+√(1+y²) |alles hoch 2
s_ABCD²=(y²-12y+40)+0,25+(1+y²)= 2y²-12y+41,25
Diese Funktion in die Mitternachtformel:

(12 \frac{+}{-}

√((12)²-4*41,25*2))/4
Da kommt eine negative Wurzel, also bedeutet ja kein Ergebnis.
Wo ist mein Fehler? Darf ich nicht mit der Distanzformel arbeiten?

ledum aktiv_icon

11:54 Uhr, 13.03.2015

Hallo
die distanz hast du richtig, die

0.5

kannst du weglassen, da sie ja immer da ist. aber jetzt kommt dein scheusslicher Fehler!
1. um das Max zu bestimmen musst du doch

d

nach

y

ableiten. natürlich ist das

max

von

d

auch das von

d^{2}

aber ob danach das Ableiten leichter wird?
2.

{(a + b + c)}^{2}

UNGLEICH

a^{2} + b^{2} + c^{2}

3. natürlich kann

d

bzw s_ABCD) nicht 0 werden, da muss ja Unsinn rauskommen
Gruß ledum

abakus

12:29 Uhr, 13.03.2015

Die Aufgabe ist immer noch nicht klar.
Was ist denn wirklich gesucht:
- die kürzeste mögliche Seitenlänge des Vierecks ABCD
oder
- insgesamt der kleinstmögliche Abstand (wobei auch die Diagonalen AC und BD betrachtet weden müssten?

basti-basti aktiv_icon

13:04 Uhr, 13.03.2015

Hallo,
zu Gast

62 :

Es geht in dieser Aufgabe die 4 gegeben Punkte zu verbinden. Diese Verbindung soll die kürzeste Länge annehmen. Punkt A und

D

sind fest im Koordinatensystem verankert.

B

und

C

können bei ihren festen X-Koordinaten rauf oder runter wandern, müssen aber die selben Höhe annehmen.
Zu ledum:
Danke für deine Hilfe und entschuldige meinen Fehler!
Wenn ich es richtig verstanden habe muss ich so rechnen:

d_AB=√(y²-12y+40) | jetzt nehme ich alles hoch , da ich die Wurzel erstmal aus dem Weg
haben will

\Rightarrow

d_AB²=y²-12y+40 Diese Gleichung jetzt "Null setzen" und ableiten
y²-12y+40=0

\Rightarrow y = 6,

da ich aber vorher hoch 2 die Gleichung genommen habe muss ich jetzt die Wurzel ziehen
also ist die kürzeste Strecke bei y=√6
Diese Zahl muss ich jetzt einfach nur in meine Distanzformeln einfügen und ich habe die kürzeste Strecke für die 4 Punkte.
Habe ich da Recht?

rundblick aktiv_icon

13:07 Uhr, 13.03.2015

"
- die kürzeste mögliche Seitenlänge des Vierecks ABCD"

@ Gast62 :

\to

die kürzeste mögliche Seitenlänge wäre dann

0,5 (=

Länge von BC

) -

oder?

\to

aber vielleicht meinst du ja eher

\to

den kleinstmöglichen Umfang des Vierecks?

..............jedenfalls hast du völlig Recht mit

\to

" Die Aufgabe ist immer noch nicht klar."

.. und solange das nicht geklärt ist , macht es wohl wenig Sinn hier
weiter irgendwelche schlauen Antworten zu geben; grüsse ledum von mir ..

oh:
das

_>

" Es geht in dieser Aufgabe die 4 gegeben Punkte zu verbinden"
erklärt halt immer noch nicht, welche Gesamtstrecke minimal sein soll
es gibt ja nicht nur eine Möglichkeit,
Verbindungen zwischen vier Punkten auszuwählen ..
(siehe dazu

u . a

. auch die weiteren Bemerkungen von Gast62)

.

.

basti-basti aktiv_icon

13:26 Uhr, 13.03.2015

@ rundblick,
nein es soll kein Viereck entstehen, sondern wie eine Straße die bei A anfängt durch

B

und

C

(die Eigenschaften dieser beiden Punkte habe ich oben erläutert) durchläuft und bei

D

endet.
Entschuldigt, das meine Beschreibung der Aufgabe für Unklarheiten sorgte!
Viele Grüße
Basti

Die Punkte

A, B, C, D

haben feste x-Koordinaten, aber die Y-Koordinaten von

B

und

C

müssen bestimmt werden. Es macht einen Unterschied von der Länge, wenn die Y-Koordinate von diesen Punkten 6 oder 1 ist, dadurch ist die Länge sehr lang. Und hier wird die "beste" Y-Koordinate gesucht, um die kürzeste Verbindung der Punkte herauszufinden.
Hoffe ich konnte weiterhelfen?

Ich habe festgestellt, dass die Wurzel

6,

nicht die kürzeste Strecke von den Punkten ABCD ist.
Sieht jemand den Fehler oder rechne ich einfach mit der falschen Methode?

rundblick aktiv_icon

16:06 Uhr, 13.03.2015

.
wenn ich es nun richtig verstehe,
suchst du das Minimum der Strecke

d =

AB+BC+CD ?

ja?

\to

also untersuche die Funktion

d = f (y) = \sqrt{4 - {(6 - y)}^{2}} + 0,5 + \sqrt{1 + y^{2}}

ermittle die Nullstellen der ersten Ableitung

und ja: du wirst NICHT

y = \sqrt{6}

erhalten, ..
sondern

: \to . .

. ?

.

basti-basti aktiv_icon

17:45 Uhr, 13.03.2015

Hallo,
danke das du mir bei meinem Problem hilfst.
Ja das ist richtig mit AC+CD+DB.
Die Nullstelle bei mir ist die Wurzel 3
und somit komme ich auf eine gesamte Länge von gerundet

7,21332

Aber das kann nicht die kürzeste Strecke sein, weil wenn ich 2 als Y-Koordinate annehme, kommt eine Länge von

7,2082

raus.
Wieder ein Fehler von mir? Oder benutze ich die falsche Methode?
Viele Grüße und danke das ihr alle so mithelft!!!!

Atlantik aktiv_icon

18:07 Uhr, 13.03.2015

Siehe Zeichnung:

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

22:02 Uhr, 13.03.2015

.
"Ja das ist richtig mit AC+CD+DB."

\to

willst du weiter verwirren ?
ich dachte es sei AB+BC+CD gemeint (siehe oben)

... .

.

egal - aber:
du hast hoffentlich bemerkt, dass auch ich oben
noch einen kleinen Tippfehler eingebaut hatte

\to

ein " - " statt das richtige "

+

" für den Pythagoras..

also so ist es richtig

\to

d = f (y) = \sqrt{4 + {(6 - y)}^{2}} + 0,5 + \sqrt{1 + y^{2}}

die Ableitung ist dann

\to

f' (y) = \frac{- (6 - y)}{\sqrt{4 + {(6 - y)}^{2}}} + \frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}

also

f' (y) = \frac{- (6 - y) \cdot \sqrt{1 + y^{2}} + y \cdot \sqrt{4 + {(6 - y)}^{2}}}{\sqrt{4 + {(6 - y)}^{2}} \cdot \sqrt{1 + y^{2}}}

f' (y)

hat den Wert 0 wenn der Zähler 0 wird

\Rightarrow

- (6 - y) \cdot \sqrt{1 + y^{2}} + y \cdot \sqrt{4 + {(6 - y)}^{2}} = 0

\to

(6 - y) \cdot \sqrt{1 + y^{2}} = y \cdot \sqrt{4 + {(6 - y)}^{2}}

\to

{(6 - y)}^{2} \cdot (1 + y^{2}) = y^{2} \cdot (4 + {(6 - y)}^{2})

\to

{(6 - y)}^{2} = 4 y^{2}

\to

6 - y = 2 y

\to

6 = 3 y

\Rightarrow

Ergebnis; das Minimum wird errecht genau dann, wenn

\to y = 2

wie gross dann

d

ist, kannst du ja selbst ausrechnen

ok?

.

basti-basti aktiv_icon

15:28 Uhr, 16.03.2015

Danke Atlantik für deine Zichnung!!
Aber das ist ja nicht die kürzeste Strecke!
Danke Rundblick für deine Lösungsweg, beim Ableiten läuft es nicht so bei mir...
2 ist tatsächlich die kürzeste Strecke:
Da bekomme ich

7,2082

raus (gerundet)
Vielen Dank an alle, die mitgeholfen haben!

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