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A5 kleinste nicht auflösbare gruppe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, kleinste, nicht auflösbar

fesiborlin aktiv_icon

15:41 Uhr, 24.11.2017

Hallo, ich versuche zu zeigen, dass A5 (alternierende Gruppe), die kleinste nicht auflösbare Gruppe ist.
Meine Idee: da A5 Mächtigkeit 60 hat, muss ich zeigen, dass alle Gruppen mit Mächtigkeit kleiner als 60 auflösbar sind. Ich weiß, dass Gruppen der Mächtigkeit

p^{k}

mit p prim, Gruppen der Mächtigkeit

p^{2} q

mit p,q prim und abelsche Gruppen auflösbar sind.
Wie zeige ich aber, dass Gruppen der Mächtigkeit 6,10,14,21,22,24,26,30,34,36,38,39,40,42,46,48,54,55,56,57,58 auflösbar sind?
Vielen Dank im voraus
Fesiborlin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

16:00 Uhr, 24.11.2017

Hallo,
Gruppen der Ordnung

2 p^{r}

mit ungerader Primzahl

p

besitzen aufgrund der Sylow-Sätze
eine Untergruppe der Ordnung

p^{r}

. Diese hat dann den Index 2 und ist infolgedessen ein
Normalteiler. Das schafft doch schon mal einiges weg:-)
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

16:17 Uhr, 24.11.2017

Weiter sei

∣ G ∣ = p q

mit verschiedenen Primzahlen

p, q

, etwa

p > q

.
Dann ist nach Sylow die Anzahl der

p

-Sylowgruppen kongruent 1 Modulo

p

, also

\in {1, p + 1, 2 p + 1, \dots}

, aber zugleich auch ein Teiler von

q

, mithin

= 1

.
Da alle

p

-Gruppen konjugiert sind, bedeutet das, dass die

p

-Gruppe ein Normalteiler ist.
Nun forsch du mal weiter ;-)

fesiborlin aktiv_icon

17:51 Uhr, 24.11.2017

Hallo, vielen Dank für deine Antwort. Leider verstehe ich sie nicht ganz: Auflösbar heisst, dass die Faktoren von der Normalreihe abelsch sind. Wieso folgt das aus dem was du geschrieben hast?
Grüße
Fesiborlin

ermanus aktiv_icon

18:07 Uhr, 24.11.2017

Zu den Gruppen

G

mit Ordnung

2 p^{r}

. Sei

H

der Normalteiler der Ordnung

p^{r}

.
Dieser ist eine

p

-Gruppe und hat daher ein nicht-triviales Zentrum, das ja wieder ein Normalteiler ist etc. etc., ebenso sind die Faktorgruppen p-Gruppen; diese haben als
Normalteiler wiederum ein nicht-triviales Zentrum usw. usw.
Gruppen der Ordnung

p q

mit

p > q

haben einen Normalteiler von Primzahlordnung
und eine Faktorgruppe mit Primzahlordnung, was beides also zyklische Gruppen sind.
Du musst da einfach ein bisschen weiterdenken ;-)
Siehe mal unter - "Wikipedia: Auflösbare Gruppe" - die Rubrik "Eigenschaften".

fesiborlin aktiv_icon

20:27 Uhr, 25.11.2017

Hallo, ich habe noch eine letzte Frage: Wieso sind Faktorgruppen mir Primzahlordnung zyklisch?
Grüße
Fesiborlin

DrBoogie aktiv_icon

20:31 Uhr, 25.11.2017

Alle Gruppen der Primazahlordnung sind zyklisch. Folgt direkt aus dem Satz von Lagrange.
www.onlinemathe.de/forum/Gruppen-von-Primzahlordnung-sind-zyklisch

ermanus aktiv_icon

21:03 Uhr, 25.11.2017

Hallo,

was hast du denn bei den Gruppen mit den Ordnungen
24,30,36,40,42,48,54 und 56 gemacht?
Wie begründest du bei denen, dass sie einen nichttrivialen Normalteilr besitzen?

Gruß ermanus

fesiborlin aktiv_icon

22:08 Uhr, 25.11.2017

Hallo, leider habe ich noch nichts gemacht.Ich habe versucht die Sylow-Sätze zu benutzen aber es hat nichts gebracht. Ich habe mir überlegt, dass man benutzen könnte, dass auflösbare Gruppen unter homomorphen Bilder abgeschlossen sind aber ich weiß nicht wie man das machen könnte.
Grüße
Fesiborlin

ermanus aktiv_icon

22:40 Uhr, 25.11.2017

Ich fange mal mit

∣ G ∣ = 24 = 2^{3} \cdot 3

an:
Die Anzahl der 2-Sylowgruppen ist

\equiv 1 m o d 2

und ein Teiler von

3

, also
1 oder 3.
Ist sie 1, so ist die einzige 2-Sylowgruppe ein Normalteiler und wir sind fertig.
Die Menge der 2-Sylowgruppen bestehe nun aus 3 Elementen

M := {H_{1}, H_{2}, H_{3}}

.
Nach Sylow sind diese alle zu einander konjugiert, d.h. es gibt einen
surjektiven Homomorphismus

φ : G \to S_{M} ≅ S_{3}, g \mapsto {M \to M, H \mapsto g^{- 1} H g}

.

Daher gilt

G / K e r (φ) ≅ S_{3}

. Da

∣ G ∣ > ∣ S_{3} ∣

, ist

K e r (φ)

ein
nichttrivialer Normalteiler von

G

.

Mal sehen, wie du mit

∣ G ∣ = 30

klarkommst ;-)

fesiborlin aktiv_icon

13:41 Uhr, 26.11.2017

∣ G ∣ = 42

: Nach Sylow hat G eine 7-Sylow-Gruppe s und somit einen Normalteiler der Ordnung 7. Dann sind s und G/s auflösbar. Kann ich jetzt folgern, dass auch G auflösbar ist? und wenn ja warum?
Grüße
Fesiborlin

ermanus aktiv_icon

13:54 Uhr, 26.11.2017

Du hast die (Sub)Normalreihe

e ⊲ s ⊲ G

. Die dazu gehörigen Faktorgruppen sind

s ≅ s / e

und

G / s

G / s

hat die Ordnung 6, ist also auflösbar, etwa

e ⊲ N ⊲ G / s

mit

∣ N ∣ = 3

und abelschen Faktoren

N / e

und

(G / s) / N

.
Das Urbild

φ^{- 1} (N)

bzgl des kanonischen Homomorphismus

φ : G \to G / s

ist ein Normalteiler von

G

, so dass wir unsere Normalreihe von

G

auffüllen können:

e ⊲ s ⊲ φ^{- 1} (N) ⊲ G

. Die Ordnungen dieser Untergruppen sind

1, 7, 21, 42

.
Die Faktoren haben die Ordnungen

7, 3, 2

fesiborlin aktiv_icon

14:11 Uhr, 26.11.2017

es ist mir klar, dass s/{1} zyklisch ist (Ordnung 7) aber wieso ist G/s zyklisch? die Ordnung von G/s ist 6, also keine Primzahl...

ermanus aktiv_icon

14:13 Uhr, 26.11.2017

Habe gerade meine Antwort berichtigt ...

fesiborlin aktiv_icon

14:14 Uhr, 26.11.2017

danke :-)

fesiborlin aktiv_icon

15:07 Uhr, 26.11.2017

wieso gilt |N|=3? könnte auch |N|=2 sein?

ermanus aktiv_icon

15:26 Uhr, 26.11.2017

Weil es in einer Gruppe der Ordnung 6 genau eine 3-Sylowgruppe gibt,
die dann ja automatisch Normalteiler ist. Z.B. sind die 2-Sylowgruppen von

S_{3}

keine Normalteiler, wohl aber

A_{3}

fesiborlin aktiv_icon

16:26 Uhr, 26.11.2017

Hallo,
vielen Dank für die Erklärungen. Ich hätte noch eine Frage: wie berechnet man die Mächtigkeit von

φ^{- 1} (N)

? ich habe es mit dem Satz von Lagrange versucht aber nicht hinbekommen...

ermanus aktiv_icon

18:04 Uhr, 26.11.2017

Hallo,
also Lagranges Ideen sind durchaus angebracht. Wenn

N

3 Elemente besitzt, sind dies
ja 3 Nebenklassen von

G

nach

s

. Jede dieser Nebenklassen besitzt 7 Elemente.
Daher sind es insgesamt 21 Elemente, die per

φ

zu diesen 3 Nebenklassen als
Elementen von

G / s

zusammengequetscht werden.
Hat man also eine Gruppe

G

mit einem Normalteiler

H

und ist

M \subseteq G / H

und
ist

φ : G \to G / H

der kanonische Epimorphismus, so gilt

∣ φ^{- 1} (M) ∣ = ∣ M ∣ \cdot ∣ H ∣

fesiborlin aktiv_icon

21:30 Uhr, 26.11.2017

Danke, jetzt habe ich die Aufgabe geschafft :-)

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