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AB=BA für alle A

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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Schattenlord

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18:13 Uhr, 10.11.2010

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Hallo, ich hänge an folgender Aufgabe fest:

Bestimmen Sie die allgemeine Form aller B∈Matn×n(ℝ), die bei der Matrizenmultiplikation mit jedem A∈Matn×n(ℝ) vertauschbar sind, die also:

A⋅B=B⋅A

für alle A∈Matn×n(ℝ) erfüllen.


Ich bin mir relativ sicher, dass es sich bei B eigentlich nur um vielfache der Einheitsmatrix handeln kann. Ich habe jedoch überhaupt keine Ahnung, wie ich das zeigen soll.



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Bummerang

Bummerang

03:17 Uhr, 11.11.2010

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Hallo

sei B eine solche Matrix, bei der für alle A gilt: A⋅B=B⋅A.

Dann gilt diese Gleichung insbesondere für 0r(r∈{1,2,...,n}), das sei die Matrix A, für die gilt: ar,r=1,ai,j=0 sonst. In der Multiplikation 0r⋅B steht im Ergebnis die r-te Zeile von B als r-te Zeile des Ergebnisses. Alle anderen Zeilen sind Null. In der Multiplikation B⋅0r steht im Ergebnis die r-te Spalte von B als r-te Spalte des Ergebnisses. Alle anderen Spalten sind Null. Da nun gilt:

0r⋅B=B⋅0r

steht einerseits in der r-ten Zeile die r-te Zeile von B und andererseits sind alle Spalten ausser der r-ten Spalte gleich Null. Damit muss in der r-ten Zeile jedes Element ausserhalb der Diagonalen von B gleich Null sein. Damit kann nur gelten, dass B eine Diagonalmatrix ist.

Ich denke, dass Du nun weisst, wie man solche Sachen angeht und Du kannst jetzt probieren, ob Du analog beweisen kannst, dass die Diagonalelemente alle gleich sein müssen oder ob sie auch unterschiedlich sein dürfen. Solltest Du weiter Hilfe benötigen, kannst Du in diesen Thread nachfragen.
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hagman

hagman aktiv_icon

07:30 Uhr, 11.11.2010

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Ein anderer Tipp, der auf die richtige Richtung stoßen kann: Sofern A invertierbar ist, entspricht die Gleichung A⋅B⋅A-1=B,d.h. B muss invariant unter Basiswechseln sein. Es darf also keine "besonderen" Vektoren/Unterräume geben
Frage beantwortet
Schattenlord

Schattenlord aktiv_icon

21:19 Uhr, 11.11.2010

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Danke für die Antworten euch beiden, aber gestern Nacht ist mir doch noch ein Geistesblitz gekommen und mir wurde klar, dass es recht einfach zu beweisen ist, indem ich einfach eine allgemeine nxn-Matrix mit nur einem eintrag mit B multipliziere und dann andersherum.
Einmal kommt eine Matrix mit nur einer Spalte und einmal mit nur einer Zeile raus. Da beides das gleiche sein muss, kann man schließen, dass dies nur der Fall ist wenn alle einträge von B 0 sind, außer, die die auf der Diagonalen liegen. Rest ist dann ein 3 Zeiler.

Also genau das was du Bummerang geschrieben hast.