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Abbildung auf Norm prüfen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Dreiecksungleichung, Funktionalanalysis, Homogenität, Metrik, Norm, Positivität

 
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Heisenberg16

Heisenberg16 aktiv_icon

13:31 Uhr, 08.06.2023

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Guten Tag,

ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:

Ist folgende Abbildung eine Norm?

V= M(nxn, ℝ),f(A)=[ Tr( At⋅A)]12

(Tr soll die Spur sein)

Wir haben die Abbildung auf Positivität und Homogenität geprüft, und müssen jetzt noch prüfen, ob die Dreiecksungleichung gilt, also:

f(A)=(A+B)≤f(A)+f(B)

Die Abbildung haben schon als Summe ausgedrückt:

f(A+B)=(∑( a_(ij) + b_(ij) )2)12.

Wie kommen wir damit auf die Dreiecksungleichung?

Vielen Dank

Grüße

Heisenberg16



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HAL9000

HAL9000

14:37 Uhr, 08.06.2023

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Doppelindex i,j hin oder her - genau genommen ist das nichts weiter als die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm im Raum ℝn2.

Wie in jedem Lp-Raum kann der Beweis mit der Minkowski-Ungleichung erfolgen.
Heisenberg16

Heisenberg16 aktiv_icon

16:49 Uhr, 08.06.2023

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Also ist die Abbildung damit eine Norm und die Dreiecksungleichung gilt?
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HAL9000

HAL9000

12:07 Uhr, 09.06.2023

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Ja. Wie gesagt:

Wenn du die n×n Elemente der Matrix gedanklich einfach umgruppierst in einen Vektor der Dimension n2, dann ist dein f(A) genau die übliche euklidische Norm in diesem Raum ℝn2.
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