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Abbildung injektiv, surjektiv, bijektiv?
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Abbildung, Bijektivität, Injektivität, mengen, surjektivität
 
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Hallo, ich bin es mal wieder mit einer Aufgabe, die ich eben versucht habe, zu lösen. Es geht darum zu untersuchen, ob eine Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. In der Schule war das noch so einfach zu verstehen^^ Bei diesem Thema tue ich mich jetzt besonders schwer und ich bin mir nicht sicher, ob ich das überhaupt richtig verstanden habe. Teilweise ergeben später - nach einer Pause - meine eigenen Aussagen für mich wieder keinen Sinn mehr. Aber nun zur Aufgabe: Untersuche, ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist und gebe im Falle, dass die Abbildung bijektiv ist eine Umkehrabbildung an. Mein Lösungsvorschlag: 1. injektiv? Eine Abbildung ist injektiv, wenn für alle gilt. Es muss also gelten: . Die beiden Mengen und sind damit identisch und enthalten damit genau die gleichen Elemente. Das bedeutet: Jedes Element, das nicht in A ist, ist auch nicht in und umgekehrt. Damit sind alle Elemente, die nicht in A liegen, genau die, die nicht in liegen. Das ist nur der Fall, wenn gilt. Für jede Teilmenge ist die Komplementmenge eindeutig. Wenn zwei Mengen A und das gleiche Komplement haben, gilt . Das stellt sicher, das es keine zwei verschiedenen Mengen A und gibt, die das gleiche Komplement haben (ODER?) Die Abbildung ist also injektiv. 2. surjektiv? Eine Abbildung ist surjektiv, wenn für jedes ein existiert, sodass gilt. Hier muss ich zeigen, dass für jede beliebige Teilmenge eine Teilmenge exisitiert, sodass gilt: also . bedeutet, dass das Komplment von ist. Die Menge A ist also das Komplment von (Für jede Teilmenge ist die Menge das Bild von unter der Abbildung KANN ich das so sagen? Weil für jede Teilmenge eine Menge existiert und deshalb gilt, ist die Abbildung surjektiv. 3. bijektiv? Da injektiv und surjektiv ist, ist auch bijektiv. (Reicht das als Begründung, oder muss ich hier noch etwas zeigen?) Umkehrabbildung (Dafür habe ich lange gebraucht, bis ich damit etwas anfangen konnte): Für jedes gilt: und (wie vorher gzeiegt). Die Umkehrabbildung muss also auf abbilden. Eine Umkehrabbildung ist also . Wie immer bin ich euch für eure Hilfe sehr dankbar! Liebe Grüße Sophia PS. Sind meine "meterlangen" Texte normal oder mache ich hier alles zu ausführlich (Ich denke eher umständlich)? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Das ist alles korrekt so. Mit etwas Übung kann man das auch kürzer schreiben, aber für den Anfang mach es lieber weiter wortreich. Viele Stud. haben ja Formulierungsprobleme, Du nicht, das ist sehr gut. bijektiv: Ja, da reicht es einfach "injektiv und surjektiv" zu sagen. Kürzer geht alles, wenn Du Dir klar machst, dass ist, also . Dann kannst Du für injektiv direkt durch Anwendung von auf beiden Seiten von zu gelangen. Auch ist sofort klar, dass ist. |
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Vielen lieben Dank! Du hast mir wirklich sehr geholfen! Das ist ja toll, vor allem mit der Verkettung von mit sich selbst, also dass die Verkettung von mit sich selbst die Identität bildet und damit ihre eigene Inverse ist. Dankeschön! Liebe Grüße Sophie :-) |
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Schön. Man merkt an Deinen Formulierungen, dass Du es verstanden hast, freut mich. |
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Das Peinliche ist jedoch, dass ich gerade in meinem Skript id_X (das sollte hier Tiefgestellt sein) Leider war ich direkt in der letzten Vorlesung aufgrund eines Arzttermins nicht da und hatte das dann noch nicht nachgeholt. Peinlich... Ich werde das dann nochmal später probieren! Aber ich bin trotzdem erleichterte, dass ich es dann richtig verstanden habe. Lieben Dank nochmals! :-) |
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Generell gibt es (ähnlich wie es mathadvisor im vorliegenden Fall erwähnt hat) folgende Abkürzung für derartige Aufgaben "Bijektivität zeigen + Umkehrfunktion angeben": Gelingt es für ein Abbildung eine Abbildung anzugeben mit den Eigenschaften sowie , dann ist automatisch bijektiv und deren Umkehrabbildung. Beweis: zeigt, dass surjektiv ist - ausführlich: Denn jedes taucht als Funktionswert auf, indem man einfach wählt. zeigt, dass injektiv ist - ausführlich: Gilt , so folgt durch Anwendung von die Gleichung , gleichbedeutend mit . Damit ist bijektiv, und erfüllt ja bereits laut Voraussetzung die Anforderungen sowie , die an eine Umkehrabbildung gestellt werden. |
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