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Abbildung zu Dichtefunktion bestimmen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Dichtefunktion, Gleichverteilung, Verteilungsfunktion

Gammler aktiv_icon

11:04 Uhr, 02.06.2014

Guten Morgen, ich benötige wieder Hilfe.

Und zwar habe ich zwei Zufallsvariablen

X, Y

die unabhängig und uniform auf dem Intervall

[0,1]

verteilt sind.

Die Aufgabe besteht nun darin, eine Abbildung, also eine Verarbeitung

h (X, Y)

zu finden, so dass die neue Zufallsvariable

Z = h (X, Y)

die Dichte

f (a) = \frac{1}{2} \cdot e^{- | a |}

hat.

Mir ist bewusst, dass man da irgendwas mit Logarithmus anstellen muss. Ich habe mir auch schon mal ausgerechnet welche Wahrscheinlichkeiten rauskommen müssen:

Für

x \geq 0 :

P (Z \leq x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{2} \cdot e^{- | a |}

= 1 - \frac{1}{2} \cdot e^{- | x |}

und für

x < 0 :

P (Z \leq x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{2} \cdot e^{- | a |}

= \frac{1}{2} \cdot e^{- | x |}

Meine erste Idee war gewesen:

h (X, Y) = - ln (X + Y),

aber das funktioniert ja nur für positive

x

.

Mein zweiter Versuch ist derzeit:

h (X, Y) = -

sign(X-Y)

\cdot ln (X + Y)

bzw.

h (X, Y) = -

sign(X-Y)

\cdot ln (X - Y)

.

Leider habe ich aber keine Ahnung, wie ich das Signum sinnvoll verrechne. Ich habe versucht, den Ausdruck

P (-

sign(X-Y)

\cdot ln (X + Y) \leq x)

logisch aufzuspalten, aber da komme ich nicht weiter.

Bitte also um Unterstützung!

Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:23 Uhr, 02.06.2014

Berechne die Dichte für

h (X, Y) = \ln (X) - \ln (Y)

Gammler aktiv_icon

11:56 Uhr, 02.06.2014

Wie stelle ich das an?

Weil dann wäre ja:

P (h (X, Y) \leq x) = P (ln (X) - ln (Y) \leq x) = P (ln (\frac{X}{Y}) \leq x) = P (\frac{X}{Y} \leq e^{x})

.
Aber was kann man jetzt über

\frac{X}{Y}

aussagen? Weil

\frac{X}{Y}

kann doch Werte auf ganz

ℝ_{0}^{+}

annehmen?

Grüße

DrBoogie aktiv_icon

12:29 Uhr, 02.06.2014

http://www.vwi.tu-dresden.de/~treiber/statistik2/statistik_download/exkurse15.pdf

Gammler aktiv_icon

20:25 Uhr, 02.06.2014

Okay, mit dieser Summenformel für stetige Zufallsvariablen komme ich auf das Ergebnis.
Aber kann man das auch irgendwie umgehen, weil das wurde in meiner Vorlesung noch nicht behandelt. Muss dann ja irgendwie anders funktionieren

: o

DrBoogie aktiv_icon

20:34 Uhr, 02.06.2014

Du kannst auch einfach

h (X)

nehmen, es ist doch nicht gesagt, dass

h

explizit von beiden abhängig sein muss. :-)
Aber wenn beide -

X

und

Y

- benutzt werden müssen, dann fürchte ich, dass kein Weg an der Faltung vorbei möglich ist. Bzw. andere Wege noch komplizierter sein werden.

Gammler aktiv_icon

16:45 Uhr, 05.06.2014

Soo,
ich hab das jetzt mal mit der Faltung gemacht. Mein Prof macht das ganze leider etwas anders als es "normalerweise" der Fall ist. Wenn mir die Lösung vorliegt, werde ich die hier der Vollständigkeit halber mal posten.

Also danke Boogie!

Grüüße

1170800

1170008

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