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Abbildungen auf Linearität überprüfen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Abbildung, Komplexe Zahlen, Linear Abbildung, Linearität, polynom, Vektorraum

D2109 aktiv_icon

21:37 Uhr, 26.12.2014

Hallo liebe Helfer,

Meine zu bearbeitende Aufgabe lautet:

(i)

f_{1} : ℝ \to ℝ, f_{1} (x) = x + 1

als Abbildung zwischen

ℚ

-Vektorräumen.
(ii)

f_{2} : ℂ \to ℂ, f_{2} (z) = \bar{z}

als Abbildung zwischen

ℝ

-Vektorräumen.
(iii)

f_{3} : ℂ \to ℂ, f_{3} (z) = \bar{z}

als Abbildung zwischen

ℂ

-Vektorräumen.
(iv)

f_{4} : ℝ [x] \to ℝ [x], f_{4} (p) = p ʹ

als Abbildung zwischen

ℝ

-Vektorräumen. Hier bezeichnet

p ʹ

die Ableitung eines Polynomes nach

x

.

Ich weiß, dass Folgendes die beiden Bedingungen für eine lineare Abbildung

f : V \to W

sind:

f (v + w) = f (v) + f (w)

und

f (λ \cdot v) = λ \cdot f (v)

, wobei

λ \in

K und

V, W

K-Vektorräume sind.

Dementsprechend bei (i):

Die erste Bedingung darauf angewandt würde ja ergeben:

f_{1} (x_{1} + x_{2}) = x_{1} + x_{2} + 1 \neq f_{1} (x_{1}) + f_{1} (x_{2}) = x_{1} + 1 + x_{2} + 1 = x_{1} + x_{2} + 2

Da die erste Bedingung schon nicht erfüllt ist, kann man ja daraus schließen, dass diese Abbildung nicht linear ist.

Bei (ii) habe ich nun wiederum Probleme. Denn gefordert hier das komplex Konjugierte, die Vektorräume sind komplex, sollen aber jedoch eine Abbildung zwischen

ℝ

-Vektorräumen ergeben.

Könnte mir vielleicht jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

anonymous

21:46 Uhr, 26.12.2014

Hey,

der Teil mit den

ℝ

-Vektorräumen heißt nur, dass Du das Skalar

λ

aus

ℝ

betrachtest. Es gibt nämlich auch den Vaktorraum

ℂ

über

ℂ

. Und je nach dem, was Du als K nimmst, kann diese Abbildung linear oder nicht sein :-)

Grüße

D2109 aktiv_icon

21:54 Uhr, 26.12.2014

Hey du,

erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort! :-)

Okay gut, also nehme ich das allgemein komplex konjugierte der komplexen Zahlen, sprich

a - b i

, oder?

Doch wenn ich jetzt so vorgehen will wie bei (i) nämlich mit

f_{1} (x_{1} + x_{2}) = . . .

komme ich schon ins Stocken, denn hier habe ich ja einen Real-, einen Imaginärteil und eben dieses

i

noch...

Viele Grüße :-)

anonymous

22:01 Uhr, 26.12.2014

Hey,

ja, das mit dem komplex Konjugierten stimmt soweit :-)

Wir prüfen nun das erste Kriterium:

Seien also

x_{1}, x_{2} \in ℂ

. Ferner seien

x_{1} := a_{1} + i \cdot b_{1}

und

x_{2} = a_{2} + i \cdot b_{2}

. Bis hier ist ja alles klar...
Bilde nun

f_{2} (x_{1} + x_{2}) = f_{2} (a_{1} + i \cdot b_{1} + a_{2} + i \cdot b_{2})

Jetzt bildest Du von der Zahl in der Klammer das komplex konjugierte. Du verrechnest die einzelnen Komponenten

a_{1}, a_{2}, b_{1}

und

b_{2}

einfach so, dass Du das überhaupt bilden kannst. Danach schließt Du auf

. . . = f_{2} (a_{1} + i \cdot b_{1}) + f_{2} (a_{2} + i \cdot b_{2})

Alles klar?

Grüße

D2109 aktiv_icon

22:15 Uhr, 26.12.2014

Also bis zum

f_{2} (x_{1} + x_{2}) = f_{2} (a_{1} + i \cdot b_{1} + a_{2} + i \cdot b_{2})

hab ich's soweit verstanden. Aber, da das Ganze ja komplex konjugiert sein soll, müsste ich nicht jeweils die Vorzeichen vor den

i

s ändern? Und wenn ich auf

. . . = f_{2} (a_{1} + i \cdot b_{1}) + f_{2} (a_{2} + i \cdot b_{2})

schließen soll, wo sind denn die ganzen Minuszeichen hin?

Liebe Grüße :-)

anonymous

22:18 Uhr, 26.12.2014

Hey,

naja, sieh Dir doch mal an, was dieses

f

macht. Es setzt ja erst ein Minus in diese Zahlen ein. Schließlich ist es ja Deine Abbildungsvorschrift. Du bildest die Konjugation ja nicht IN der Klammer, sondern bildest sie und lässt das

f

danach weg. Du musst das, was dabei rauskommt dann soweit umformen, dass Du wieder ein

f

"drüber werfen" kannst, sodass die Gleichheit daraus folgt (oder wahlweise auch nicht daraus folgt). Einigermaßen klar?

Grüße

D2109 aktiv_icon

22:45 Uhr, 26.12.2014

Hey,

Ach, jetzt hab ich verstanden, was du meinst. Stand nur kurz auf dem Schlauch, sorry...

Also nun hab ich mit den komplex konjugierten und Allem folgendes herausbekommen:

f_{2} (x_{1} + x_{2}) = f_{2} (a_{1} + i \cdot b_{1} + a_{2} + i \cdot b_{2}) = a_{1} - i \cdot b_{1} + a_{2} - i \cdot b_{2} =! f_{2} (x_{1}) + f_{2} (x_{2}) = f_{2} (a_{1} + i \cdot b_{1}) + f_{2} (a_{2} + i \cdot b_{2}) = a_{1} - i \cdot b_{1} + a_{2} - i \cdot b_{2}

Somit scheint die erste Bedingung ja erfüllt zu sein.

Nun zum zweiten Kriterium: Du sagtest ja, dass das Skalar

λ

hier aus

ℝ

sein soll. Somit untersuche ich:

λ \in ℝ

f_{2} (λ \cdot x_{1}) = f_{2} (λ \cdot (a_{1} + i \cdot b_{1})) = f_{2} (λ \cdot a_{1} + i \cdot λ \cdot b_{1}) = λ \cdot a_{1} - i \cdot λ \cdot b_{1} =! λ \cdot f_{2} (x_{1}) = λ \cdot f_{2} (a_{1} + i \cdot b_{1}) = λ \cdot (a_{1} - i \cdot b_{1}) = λ \cdot a_{1} - λ \cdot i \cdot b_{1}

Somit scheint die zweite Bedingung wohl auch erfüllt zu sein. Bin ich denn bisher richtig vorgegangen und kann ich die erste Bedingung von (ii) auch analog für (iii) anwenden? Beim zweiten Kriterium für die (iii) bräuchte ich gleich auch noch Hilfe...

Liebe Grüße :-)

anonymous

22:48 Uhr, 26.12.2014

Hey,

ja, das passt alles soweit. Du solltest vielleicht nur eher schreiben:

f (a_{1} + i b_{1} + a_{2} + i b_{2}) = f (a_{1} + a_{2} + i (b_{1} + b_{2})) = a_{1} + a_{2} - i (b_{1} + b_{2})

Dass man eben sieht, dass Du wirklich auf den Ausdruck in der Klammer die Abbildungsvorschrift angewandt hast.

Ja, bei der (iii) kannst Du den ersten Teil der (ii) verwenden. Beim zweiten Teil wählst Du hier nun ein Skalar

λ \in ℂ

.

Beste Grüße

D2109 aktiv_icon

23:04 Uhr, 26.12.2014

Hey,

Alles klar !

Analog hab ich jetzt den ersten Teil für die (iii) einfach abgeschrieben.
Nun muss ich ein Skalar

λ \in ℂ

verwenden, doch wie sieht so ein Skalar denn aus? Auch ganz allgemein wie

a + i \cdot b

? Im Internet finde ich da auf die Schnelle grade leider nichts...

Liebste Grüße

anonymous

23:09 Uhr, 26.12.2014

Hey,

prinzipiell sieht das Skalar so ganz allgemein aus, ja. Aber probier doch einmal, was passiert, wenn Du auch einfach nur i als Skalar wählst. Du bildest also:

f (i \cdot x) = . . . = i \cdot f (x)

mit

x \in ℝ

.

Ist diese Gleichheit überhaupt erfüllt? :-)
Finde es heraus!

Beste Grüße

D2109 aktiv_icon

23:20 Uhr, 26.12.2014

Hallo du, kurz eine Frage...

warum hast du hier

x \in ℝ

gewählt, oder soll ich selbst herausfinden wie das aussieht mit

x \in ℂ

, sprich

a + i \cdot b

?

Sorrryyyy für die doofe Frage haha..

Viele Grüße !

anonymous

23:26 Uhr, 26.12.2014

Hey,

das ist jetzt von mir nur eine Beispielrechnung. Widerlegen einer mathematischen Aussage IMMER mit Beisiel. Das macht uns das Leben angenehmer. Ich wähle ein

x \in ℝ

. Du wirst mir, denke ich, zustimmen, dass

x \in ℂ

somit auch gilt. Schließlich sind die reellen Zahlen Teilmenge der komplexen Zahlen. Wenn aber die Bedingung in einer Beipsielrechnung schon für reelle Zahlen nicht klappt, dann wird das für komplexe Zahlen schon gar nicht klappen. Das ist so das Prinzip. Wir betrachten einfache Beispiele, die jedoch aussagekräftig sind.

Grüße

D2109 aktiv_icon

23:32 Uhr, 26.12.2014

Stimmt... reelle Zahlen Teilmenge von den komplexen Zahlen... nicht dran gedacht!

An dem Punkt hing ich auch schon lange, und zwar... was ist das komplex konjugierte einer reellen Zahl? Das brauche ich hier ja... ich hatte die Vermutung, dass entweder das Vorzeichen umgedreht wird, oder (wie bei den komplexen Zahlen der Realteil) die Zahl einfach sie selbst bleibt.

Grüße :-)

anonymous

23:34 Uhr, 26.12.2014

Hey,

die komplexe Konjugation ist bildhaft gesprochen nur die Spiegelung eines Punktes in der komplexen Zahlenebene an der Re-Achse. Wenn also ein Punkt direkt auf der Re-Achse liegt und an derselben gespiegelt wird, wo landet er dann? :-)

Grüße

D2109 aktiv_icon

23:41 Uhr, 26.12.2014

... Er landet wieder dort, wo er sich auch zuvor befand! :-)

Okay, dann sieht das zweite Kriterium untersucht bei mir nun so aus:

λ \in ℂ

und

x \in ℝ

f_{3} (λ \cdot x) = f_{3} (i \cdot x) = - i \cdot x \neq i \cdot f_{3} (x) = i \cdot x

Ich hoffe, ich bin richtig vorgegangen! Somit wäre die Linearität bei (iii) ja nicht gegeben..

Ich danke dir für deine Hilfe bisher wirklich sehr!
Hättest du denn noch Lust mir bei der (iv) zu helfen? Nur, wenn du willst!

Ganz viele Grüße :-)

anonymous

23:44 Uhr, 26.12.2014

Hey,

ja, das bei der (iii) passt dann soweit. Du solltest noch explizit erwähnen, dass Du

λ = i

wählst. Gerne helfe ich Dir noch weiter. Weißt Du, was

ℝ [x]

und die Ableitung ist?

Beste Grüße

D2109 aktiv_icon

00:01 Uhr, 27.12.2014

Hey,

Dankesehr, echt :-)

Ich nehme mal an, dass

ℝ [x]

ein Polynomring über

ℝ

ist...

Also ist

f (x) = a_{0} + a_{1} \cdot x^{1} + a_{2} \cdot x^{2} + . . . + a_{n} \cdot x^{n}

.
Die Basis davon ist ja

1, x, x^{2}, x^{3}, . . ., x^{n}

.
Somit ist die Ableitung der Basis bzgl. der Abbildung

α

0, x, 2 \cdot x, 3 \cdot x^{2}, . . ., n \cdot x^{n - 1}

Für die Abbildung

α

würde dann ja gelten:

α (f (x)) := 0 \cdot a_{0} + 1 \cdot a_{1} + 2 \cdot a_{2} \cdot x + 3 \cdot a_{3} \cdot x^{2} + . . . + n \cdot a_{n} \cdot x^{n - 1}

.

Soweit hab ich auch noch das mitnehmen können, was wir in den Vorlesungen gemacht hatten... Aber leider komme ich jetzt nicht weiter :/

Viele Grüße :-)

D2109 aktiv_icon

00:03 Uhr, 27.12.2014

In der Vorlesungen hatten wir noch angenommen, dass

α

linear ist. Ich weiß aber grade nicht genau, ob das auch im Kontext das ist, was in der Aufgabe gefordert ist. Für mich sah das auf jeden Fall gleich aus...

anonymous

00:06 Uhr, 27.12.2014

Hey,

Du musst im Prinzip hier auch nur diese Kriterien nachrechnen. Du nimmst also zwei Polynome

p, q \in ℝ [x]

und rechnest:

f (p + q) = . . . ?

Beste Grüße

D2109 aktiv_icon

00:12 Uhr, 27.12.2014

Hey,

Oh mein Gott, warum sieht mein Latexzeug da oben so verwurstelt aus, haha...

Okay, also wähle ich z.B.

p = a_{0} + a_{1} x + a_{2} \cdot x^{2} + . . . + a_{n} \cdot x^{n}

q = b_{0} + b_{1} x + b_{2} \cdot x^{2} + . . . + b_{n} \cdot x^{n}

... oder wie?

Grüße :-)

anonymous

00:15 Uhr, 27.12.2014

Hey,

hier sind wir an einem Punkt, wo ich Dir keine sicheren Angaben mehr geben kann :-)

Für mich ist

ℝ [x]

hier ein Vektorraum. Und ob der jetzt endlich sein MUSS oder auch unendlich sein kann, ist halt die Frage. Intuitiv hätte ich gemeint, dass es auch Polynome unendlichen Grades gibt. Ich meine aber, dass das für die Aufgabenstellung nicht wirklich von Relevanz ist.

Betrachte

f (p + q) = (p + q) ʹ = . . .

Also ganz allgemein Polynome, ohne das ganze weiter aufzudröseln.

Grüße

D2109 aktiv_icon

00:26 Uhr, 27.12.2014

Hey,

Ja stimmt, das kann man aus der Aufgabenstellung wirklich nicht herauslesen... Also gut. Wie meine allgemeinen (endlichen) Polynome aussehen, siehst du ja. Kann ich nicht einfach diese beiden erstmal addieren, also:

p + q = (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) \cdot x + (a_{2} + b_{2}) \cdot x^{2} + . . . + (a_{n} + b_{n}) \cdot x^{n} + . . . + b_{l} \cdot x^{l}

(Die letzten Koeffizienten hab ich in meinem Kommentar davor leider vergessen, sorry, soll nur zeigen dass die beiden Polynome sich von der Länge her unterscheiden)
... davor halt noch jeweils die Ableitung von

p

und

q

bilden, diese beiden Ableitungen separat addieren? Dann würde ich, vermute ich sehr stark, das Gleiche herausbekommen wie die Ableitung von dem obigen? Ich hoffe, du verstehst, was ich meine...
Und beim zweiten Teil eben mit einem allgemeinen Skalar

λ

multiplizieren...

Viele Grüße !

anonymous

00:31 Uhr, 27.12.2014

Hey,

ich meine wirklich, dass Du das hier nicht weiter aufzudröseln brauchst. Inwiefern ihr Ableitungen bereits definiert habt, weiß ich leider nicht, aber bei Polynomen (und eigentlich auch allen anderen stetigen Funktionen) gelten immer folgende Regeln:

(i)

(f + g) ʹ = f ʹ + g ʹ

(ii)

(c \cdot f) ʹ = c \cdot f ʹ

Ist eben die Frage, ob ihr das anwenden dürft. Das würde das Ganze um Welten einfacher machen. Sonst ist das eine reine Indizeschlacht und artet dann in eine vollständige Fallunterscheidung aus. Dein

l

kan schließlich auch kleiner als (oder gleich)

n

sein.

Grüße

D2109 aktiv_icon

00:41 Uhr, 27.12.2014

Also mein

l

ist ganz sicher größer als

n

, denn mein zweites Polynom sieht genauso aus wie das erste, also mit

b_{n} \cdot x^{n}

irgendwann zwischendrin, und

b_{l} \cdot x^{l}

ganz am Ende, während mein erstes Polynom ja nur bis

n

geht... aber irgendwie scheint mir das inzwischen auch zu kompliziert.

Du hast die Regeln ja aufgezeigt, nur ist das Problem, dass wir in der Vorlesung eben viele Beispiele zu Linearität aufgeschrieben haben und ein Beispiel war eben dies hier mit Polynomring. Deshalb weiß ich nicht, ob ich dessen Ergebnis einfach auf diese Aufgabe übertragen kann, also praktisch deine Regeln hier einfach annehmen kann, oder das alles mit meinem bereits gezeigten Ansatz weiterführen muss...

Auf jeden Fall ist es schon ziemlich spät, wir haben ja noch Ferien und ich hab noch 2 Wochen für mein Mathezeug Zeit. Ich bin dir jedenfalls wirklich SEHR dankbar für deine Hilfe bisher, dank dir bin ich wirklich weit gekommen! Danke danke danke :-)

Dir auf jeden Fall noch ein schönes Wochenende falls wir uns nicht mehr begegnen, und eine gute Nacht!

Ganz ganz liebe Grüße :-)

D2109 aktiv_icon

00:47 Uhr, 27.12.2014

P.s., vielleicht antworte ich morgen oder am Sonntag nochmal hierzu, ich hoffe mal, der Beitrag wird nicht geschlossen... denn mir fällt grade auf, dass ich nicht wirklich verstehe, wie Polynome irgendwie Abbildungen von Vektorräumen sein können. Aber schauen wir auf jeden Fall. Mach's gut! :-)

anonymous

00:48 Uhr, 27.12.2014

Hey,

informier Dich am Besten bei ein paar Komilitonen darüber. Vielleicht hilft das ein wenig. Ich weiß nicht, ob ihr bereits Analysis gehört habt. Ableitung kommt da eigentlich recht früh dran.
Ich kann mir aber kaum vorstellen, dass man in der Linearen Algebra soetwas so genau behandelt. Ist hier, meiner Meinung nach, mehr ein "ach übrigens...", als eine fundamentale Erkenntnis. Man soll eben sehen, dass die Ableitung linear ist und arbeitet eben mit einer "naiven" Vorstellung der Analysis.
Dieses Forum ist zum Fragen da. Gerne hab ich (im Rahmen meiner Möglichkeiten) geholfen.

Dir auch noch eine gute Nacht und schöne Feiertage! Genieß Deine Ferien.

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