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Abbildungen und Gruppen

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Gruppen

Tags: Gruppen

paulzerln aktiv_icon

18:02 Uhr, 01.12.2024

Heyy, ich brauche dringend Hilfe

: (

Ich soll zeigen, dass die Diedergruppe

G_{n}

isomorph zu der Faktorgruppe

G_{2 n}

nach

Z (G_{2 n})

ist, wobei

Z (X)

allgemein das Zentrum einer Gruppe

X

bezeichnet.
Wenn ich mich nicht irre ist ja

Z (G_{2 n}) =

{

id,

d^{\frac{n}{2}}},

richtig?
Mir ist auch klar, dass ich hier den Isomorphiesatz anwenden muss, in dem ich einen surjektiven Homomorphismus finde die von

G_{2 n}

nach

G_{n}

geht und

Z (G_{2 n})

als Kern hat. Die Frage ist, wie mache ich das genau? Bitte keine Lösung, sondern würde mich Tipps mehr freuen :-) Danke im voraus!

michaL aktiv_icon

18:52 Uhr, 01.12.2024

Hallo,

gibt es Einschränkungen bzgl.

n

?

zumindest liegst du beim Zentrum falsch:

Z (G_{2 n} = {id, d^{n}})

Mfg Michael

paulzerln aktiv_icon

22:29 Uhr, 01.12.2024

Hi, danke fürs Antworten erstmal! :-)

Zur Sache:

n

soll grösser gleich 3 sein. Mehr steht da nicht.
Okay und aber gilt dann also jetzt nicht mehr

d^{n} =

id in

G_{2 n}

paulzerln aktiv_icon

01:16 Uhr, 02.12.2024

Wie definiert man aber jetzt einen Homomorphismus bzw. allgemein eine Abbildung von

G_{2 n}

nach

G_{n}

? Das sind doch in dem Fall völlig verschiedene Revchenregel in beiden Gruppen. In der einen gilt

d^{n} =

id und und der anderen

d^{2 n} =

id…

michaL aktiv_icon

21:09 Uhr, 02.12.2024

Hallo,

zu deiner ersten Antwort:
Wenn

d

die Drehung in

G_{n}

ist, so gilt ja offenbar

ord (d) = n

, d.h. die kleinste positive Potenz, zu der

d

erhoben werden kann, sodass die Identität herauskommt, ist eben gerade die mit Exponent

n

.

In

G_{2 n}

gilt demnach

d^{2 n} = id

.
Klar, was da los ist?

So, nun zur surjektiven Abbildung:
Klar sollte sein, dass für jedes

σ \in G_{2 n}

und

τ \in Z (G_{2 n}) = {id, d^{n}}

gelten muss:

φ (σ) = φ (σ \circ τ)

, wobei

φ : G_{2 n} \to G_{n}

ein gesuchter surjektiver Gruppenhomomorphismus werden soll.

Das (also die Gleichung

φ (σ) = φ (σ \circ τ)

) führt zwangsläufig zu

φ (d^{n}) = {id}_{G_{n}}

.

Wie stehen die Karten?

Nennen wir mal die Erzeuger der Diedergruppe(n)

d_{k}

(für Drehung) bzw.

s_{k}

(für Spiegelung) mit

k \in {n, 2 n}

Da liegt es doch nahe,

φ (d_{2 n}) = d_{n}

und

φ (s_{2 k}) = s_{k}

zu versuchen.

Die die Diedergruppe

G_{n}

klassifizierende Relation zwischen

d

und

s

ist ja

d_{n}^{k} s_{n} = s_{n} d_{n}^{- k}

für alle

k \in {1; 2; \dots; n - 1}

bzw. in

G_{2 n}

d_{2 n}^{k} s_{2 n} = s_{2 n} d_{2 n}^{- k}

für alle

k \in {1; 2; \dots; 2 n - 1}

.

Man muss also zunächst testen, ob die oben angegebene Definition der Abbildung diese Relation bewahrt. (Das ist so etwas wie eine Wohldefiniertheit. Es kann nicht

φ (d_{2 n}^{k} s_{2 n})

etwas anderes ergeben als

φ (s_{2 n} d_{2 n}^{- k})

.)

Wenn das geklärt ist, muss man sich der Gruppenoperation-erhaltenden Eigenschaft zuwenden.
Da ist aber wenig zu tun, denn so ist

φ

ja gerade definiert.

Wenn das alles geprüft und bestätigt ist, so kommen die Surjektivität und der Kern ins Spiel.
Danach liefert (wie du schon richtig erkannt hast) der Homomorphiesatz den Rest.

Mfg Michael

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