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Abgeschlossenheit von einer Menge zeigen

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Tags: Stetige Funktionen, Untere Niveaumengen

MicFe aktiv_icon

15:50 Uhr, 29.10.2011

Hallo Leute,
Ich stehe vor einer Aufgabe und bin sehr am verzweifeln, da ich trotz langer Überlegung keine Idee habe, wie ich vorgehen soll.
Man soll zeigen, dass die Menge

M = {x \in ℝ^{n}; g (x) \leq 0}

abgeschlossen ist, wobei

g

eine stetige Abbildung vom

ℝ^{n} \to ℝ

ist.
Abgeschlossenheit bedeutet doch, dass für alle Folgen in

M,

die einen Grenzwert

x'

besitzen, dieser Grenzwert in

M

selbst ist.
Könnte mir jemand vlt. einen Tipp geben, wie ich da vorgehen kann. Die Menge

M

ist ja die untere Niveaumengen der Funktion

g

zum Niveau 0. Anschaulich ist es mir klar, dass

M

abgeschlossen sein muss, aber wie kann man das formal zeigen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

16:47 Uhr, 29.10.2011

Entscheidend ist die STETIGE Abbildung. Dadurch konvergieren alle Folgen gegen einen Punkt in der Menge, also liegt jeder Häufungspunkt in der Menge.

MicFe aktiv_icon

11:13 Uhr, 30.10.2011

Wieso konvergieren bei stetigen Abbildungen alle Folgen gegen einen Punkt in der Menge? Und bei der Menge

M

handelt es sich doch nicht um die Funktionswerte, sondern um die x-Werte, oder nicht?

MicFe aktiv_icon

13:11 Uhr, 31.10.2011

Hallo, Ich bins nochmal,
Wenn ich jetzt auch noch zeigen will, dass der Schnitt von beliebig vielen Mengen

M_{i}

abgeschlosse ist

M = ⋂ M_{i},

kann ich dann einfach so argumentieren, dass ja jedes

M_{i}

abgeschlossen ist und dass der Schnitt von abschlossenen Mengen, wieder abgeschlossen ist.

Sina86

11:54 Uhr, 01.11.2011

Hi MicFe,

behandelt ihr zur Zeit das Thema Topologie? Dann würde ich das mit dem beliebigen Schnitt von abgeschlossenen Mengen über die Komplämente (die ja per Definition offen sind) machen.

Zum ersten Teil:
Du nimmst eine konvergente Folge in

M

. D.h.

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

. Dann konvergiert auch die Folge

lim_{n \to \infty} g (a_{n}) = g (a)

, da

g

stetig ist. Ist nun

g (a) \leq 0

und simit

a \in M

? (Grenzwertsätze...).

Gruß
Sina

MicFe aktiv_icon

12:20 Uhr, 01.11.2011

Hallo Sina86,
Vielen Dank für deine Antwort. Wir behandeln nicht das Thema Topologie, sondern es geht um das Thema "Globale Optimierung"( hier speziell um die Lösbarkeit), deswegen habe ich auch keine Kenntnisse von Topologie.
Also den ersten Teil haben ich inzwischen hinbekommen und verstanden, aber beim 2. Teil bin ich mir nicht ganz sicher:
Ich habe doch im ersten Teil gezeigt, dass

M

abgeschlossen ist. Das bedeutet doch, dass auch jedes

M_{i}

abgeschlossen ist (einzelnd betrachtet).
So jetzt soll ich zeigen, dass

M_{a} = ⋂ M_{i}

abgeschlossen ist, wobei

M_{i} = {x \in ℝ^{n}, g_{i} (x) \leq 0}

ist. Kann ich jetzt nicht einfach argumentieren, dass im ersten Teil ja gezeigt wurde, dass jedes einzelne

M_{i}

abgeschlossen ist und dass der Schnitt von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen ist, woraus die Abgeschlossenheit von

M_{a}

folgen würde?

Sina86

15:42 Uhr, 01.11.2011

Nun, was genau ist denn zunächst einmal

i

? Das so einfach zu sagen, wird wohl nicht ausreichen, da das nicht so trivial ist. Wenn ihr noch nichts mit Topologie gemacht habt, dann mach es wieder genauso wie beim ersten Teil... D.h. nimm eine konvergente Folge in

M_{a}

, blablabla...

...Natürlich folgt die Aussage daraus, dass die

M_{i}

abgeschlossen sind. Aber es einfach nur zu sagen ist zu wenig...

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