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Abiturprüfung 2009: Anwendung der Sigma-Regel

Schüler

Tags: Erwartungswert, Sigma Regeln, Stochastik

cmo12 aktiv_icon

11:27 Uhr, 17.04.2014

Hallo, ich habe Probleme, folgende Übungsaufgabe aus dem Zentralabitur

2009,

GK Mathe, zu lösen und kann auch keine Lösung bei standard-sicherung

o

.ä. finden:

Es ist bekannt, dass in Europa der Anteil der Personen mit der Blutgruppe

B

zwischen

5 %

und

15 %

liegt. Bei einer Untersuchung an einer europäischen Klinik wurde unter

200

Personen bei

17

die Blutgruppe

B

festgestellt.

Aufgabe: Untersuchen Sie, für welche Werte des tatsächlich (unbekannten) Anteils

p

von Personen mit der Blutgruppe

B

das Ergebnis der Untersuchung um

2 σ

vom Erwartungswert

μ

abweicht.

Gegeben ist also:

n = 200

Gesucht ist

p

Ich habe folgenden Ansatz:

μ = 200 \cdot p

σ = \sqrt{200 \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{- 200 p^{2} + 200 p}

P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.954

P (200 p - 2 \sqrt{- 200 p^{2} + 200 p} < X < 200 + 2 \sqrt{- 200 p^{2} + 200 p}) \approx 0,954

Jetzt kommt der Teil, bei dem ich mir unsicher bin:

200 p - 2 \sqrt{- 200 p^{2} + 200 p} = 0,954

40000 p^{2} + 4 \cdot (- 200 p^{2} + 200 p) = 0,910116

39200 p^{2} + 800 p - 0,910116 = 0

Ich wende die pq-Formel an und naja... das kann laut der aufgabe nicht stimmen, weil

0,05 \leq p \leq 0,15

sein muss:

p^{2} + \frac{1}{49} p - 0,000023 = 0

p_{1,2} = - \frac{\frac{1}{49}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- \frac{1}{49}}{2})}^{2} + 0,000023}

p_{1} \approx 0,0001

oder

p_{2} \approx - 0,02

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stephan4

12:24 Uhr, 17.04.2014

Ohne auf das eigentliche Problem einzugehen:

200 p

−

2 \cdot \sqrt{- 200 p^{2} + 200 p} = 0,954

Wenn man die linke Seite quadriert, dann mit

{(A + B)}^{2} = A^{2} +

2AB

+ B^{2}

und nicht

A^{2} + B^{2},

wie Du das gemacht hast.
Am besten, die Wurzel allein auf einer Seite stehen lassen und dann quadrieren.

cmo12 aktiv_icon

16:30 Uhr, 17.04.2014

Danke schonmal für den Hinweis :-) Ich habe jetzt nocheinmal "richtig" nach

p

aufgelöst und komme durch Vereinfachen des Terms auf:

0 = p^{2} - \frac{523}{51000} p + 0,00000223 . .

.
also:

0 \approx p^{2} - \frac{523}{51000} p

0 = p (p - \frac{523}{51000})

(ich teile durch

p,

da der faktor vor der klammer ja nur 0 sein kann, was aber nicht im sinn der aufgabe ist)

p = \frac{523}{51000} \approx 1,03 %

Ich habe richtig aufgelöst, alles nochmal nachgerechnet, aber ein sinnvoller Wert für

p

hat sich noch nicht ergeben. Ich denke mal, dass mein Lösungsansatz falsch ist. Könnte die Aufgabenstellung vllt davon ausgehen, dass man

17

als Erwartungswert voraussetzt? Dann wäre der Rest ja ziemlich einfach.

Stephan4

17:04 Uhr, 17.04.2014

Wenn Du den Rechengang nicht zeigst, kann ich den Fehler nicht finden.

So kann man nur die Probe machen: Wenn man Deine Lösung einsetzt, kommt bei mir aber

- 0,799

raus.
Wenn man aber

0,282

einsetzt, dann kommt

0,954

raus, was ja sein soll.

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