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Ableiten als lineare Abbildung, Darstellungsmatrix

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, darstellungsmatrix, Determinanten, Eigenwert, Lineare Abbildungen, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum

exit007 aktiv_icon

19:45 Uhr, 30.11.2014

Es sei

V = ℝ_{2} [x]

der

ℝ

-Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 2. Bestimmen Sie eine Darstellungsmatrix

[Φ]

zur linearen Abbildung

Φ : V \to V, p \mapsto \frac{d \cdot p}{d \cdot x},

bezüglich

a)

der festgelegten Basen

B_{1} := B_{2} := {1, x, x^{2}} \subset V,

b)

der festgelegten Basen

B_{1} := B_{2} := {{(x - 1)}^{2}, x^{2}, {(x + 1)}^{2}} \subset V

.

Dabei bezeichnet

\frac{d \cdot p}{d \cdot x} := \sum_{i = 1}^{2} i \cdot a_{i} \cdot x^{i - 1}

die Ableitung des Polynoms

p \in R_{2} [x]

der Form

p (x) = \sum_{i = 0}^{2} a_{i} \cdot x^{i}

mit

a_{i} \in ℝ, i = 0, 1, 2

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

19:54 Uhr, 30.11.2014

Und wo ist das Problem?

Φ (1) = 0

Φ (x) = 1

Φ (x^{2}) = 2 x

.
Jetzt sind die Spalten von

[Φ]

die Koordinatenvektoren von

Φ (1)

Φ (x)

Φ (x^{2})

in der Basis

1, x, x^{2}

. Was kommt raus?

Die zweite Basis ist komplizierter, aber es geht genauso.

matheass14 aktiv_icon

19:47 Uhr, 01.12.2014

Sieht das dann folgendermaßen aus bei der a)?

(\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

DrBoogie aktiv_icon

23:43 Uhr, 01.12.2014

Ja, genauso

DrBoogie aktiv_icon

16:29 Uhr, 02.12.2014

Erklärung (auf Nachfrage):

Also, wir haben

Φ (1) = 0

Φ (x) = 1

Φ (x^{2}) = 2 x

.

Unsere Basis ist

e_{1} = 1, e_{2} = x, e_{3} = x^{2}

.

Das Verfahren: nehme

Φ (e_{1}), Φ (e_{2}), Φ (e_{3})

, stelle sie als lineare Kombinationen von

e_{1}, e_{2}, e_{3}

dar und schreibe dann die Koeffizienten dieser Kombinationen spaltenweise in eine Matrix.

Konkret hier:

Φ (1) = 0 = 0 \cdot e_{1} + 0 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3}

Φ (x) = 1 = 1 \cdot e_{1} + 0 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3}

Φ (x^{2}) = 2 x = 0 \cdot e_{1} + 2 \cdot e_{2} + 0 \cdot e_{3}

.
Also die erste Spalte ist

(0, 0, 0)^{t}

, die zweite ist

(1, 0, 0)^{t}

und die dritte

(0, 2, 0)^{t}

, so entsteht de Matrix

(\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

Jetzt warum das Ganze auch richtig ist.
Nehmen ein beliebiges Polynom des 2. Grades:

P (x) = a + b x + c x^{2}

. Dann können wir

Φ (P)

direkt berechnen:

Φ (P) (x) = 2 c x + b

.
Versuchen jetzt dasselbe über Matrix zu machen:

P (x) = a e_{1} + b e_{2} + c e_{3}

, also als Koordinatenvektor in unserer Basis einfach

(a, b, c)

Φ (P)

wird jetzt so berechnet:

(\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) (a, b, c) = (b, 2 c, 0)

. Es bleibt nur diesen Vektor

(b, 2 c, 0)

wieder als Polynom darzustellen:

(b, 2 c, 0) = b e_{1} + 2 c e_{2} + 0 \cdot e_{3} = b \cdot 1 + 2 c \cdot x = 2 c x + b

.
Also, das ist dasselbe Ergebnis wie man es auch direkt bekommt. Damit ist unser Verfahren richtig.

exit007 aktiv_icon

19:50 Uhr, 02.12.2014

Danke, habt mir sehr geholfen und alles war verständlich.
Bestimmt hat es sehr vielen geholfen :-D)

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