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Schwerpunkt kegel

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Ableiten, Integration, Polarkoordinaten, Schwerpunkt von einem Kegel

Mr-Un aktiv_icon

17:37 Uhr, 13.08.2015

Hallo,

vorab bin neu hier. :-) Ich habe folgende Verständnisfragen und bitte um Hilfe.

Geg.: Kegelmantel (K),

K {(x, y, z) | x^{2} + y^{2}

<(kleiner gleich)

a^{2}, z = b \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Ges.: Schwerpunkt mit der Dichte

p = 1

.

//Meine Kentniss:

M =

Dichte* Volumen

Zuerst habe ich das Ganze Parametrisiert und habe

Q (r, φ) = {r \cdot cos (φ), r \cdot sin (φ), b \cdot r}

erhalten.

Jetzt habe ich das Ganze abgeleitet einmal nach

r

und einmal nach

φ

.

Bei raus kam Qr

= {cos (φ), sin (φ), b}

und für

Q φ =

{

-rsin(phi),rcos(phi),0}

Davon das Kreuzprodukt ist =

{

-brcos(phi),-brsin(phi),r} und dessen Betrag ist

= r \cdot \sqrt{1 + b^{2}}

(1)

Frage was gibt mir das Kreuzprodukt von Qr und

Q φ

an?- einen Vektor der an jeder Stelle des Körpers senkrecht ist?

Danach habe ich meine Kentniss die ich oben angeführt habe benutzt.

∫ von 0 bis 2pi und ∫ von 0 bis a über 1 (Dichte)*

r \cdot \sqrt{1 + b^{2}}

(Volumen????!! Frage (2)

)

d φ = π \cdot a^{2} \cdot \sqrt{1 + b^{2}}

Frage(3) Das müsste ja die Masse über den Ganzen Körper sein, oder??

Ab hier checke ich nun die Bestimmung des Schwerpunkts nicht.

Zschwerpunkt

= F

M \cdot F =

Integral von

K

z*ds = ∫ von 0 bis 2pi und ∫ von 0 bis a über

b \cdot r^{2} \cdot \sqrt{1 + b^{2}}

d φ = \frac{2}{3} \cdot Π \cdot a^{3} \cdot b \cdot \sqrt{1 + b^{2}} = F =

2/3ab (Hier wurde mit der Masse geteilt.)

(x

und

y = 0

wegen Symmetrie)

Frage

(4) :

Warum nimmt man die Masse

\cdot

mit

F

und integriert dann.?

Danke im Voraus! wäre für jede beantwortete Frage richtig dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

00:17 Uhr, 14.08.2015

Hallo
Zunächst mal wäre es gut, wenn du dir, und dann gegebenenfalls uns, klar machen könntest, was denn eigentlich gesucht ist.
Aus dem Geschriebenen könnte man interpretieren,

a)

dass ein 'Kegelmantel' gegeben ist, also die Masse als vernachlässigbar dünne Schicht auf dem Kegelmantel verteilt ist, und der Schwerpunkt dessen gesucht ist.

b)

dass ein homogener Kegel gegeben ist, also die Masse gleichmäßig über dessen Volumen verteilt ist, und der Schwerpunkg dessen gesucht ist.

Mr-Un aktiv_icon

00:55 Uhr, 14.08.2015

Ich habe keine Information, die in der Aufgabenstellung gegeben, nicht erwähnt. Habe ja selber keinen Überblick deswegen bin ich ja hier im Forum um Verständnis zu kriegen über die ganze Aufgabe.

Danke trotzdem

ledum aktiv_icon

01:27 Uhr, 14.08.2015

Hallo
ist das wörtlich die Aufgabe, also
gegeben::----
gesucht: Schwerpunkt
oder steht da noch was, und du hast interpretiert oder abgekürzt ?
da steht sicher in keiner Aufgabe "Schwerpunkt mit der Dichte"
wie man einen Schwerpunkt bestimmt liest du einfach etwa in wiki nach, ob kegel oder kegelmantel, musst du ja aus Symmeteiegründen nur die

z

komponente des

S

bestimmen, und dazu hilft dir das kreuzprodukt sicher nicht.
gruß ledum

Mr-Un aktiv_icon

01:32 Uhr, 14.08.2015

Danke auf jeden Fall für deine Mühe :-)

Dort steht berechnen Sie den Schwerpunkt von

K

für Konstante Dichte

p = 1

Ich glaube es ist

b)

ein homogener Körper dessen Masse über das ganze Volumen verteilt ist wie du schon gesagt hast.

ledum aktiv_icon

18:38 Uhr, 14.08.2015

Hallo
dann brauchst du einfach

z_{s} = \frac{1}{m} \cdot \int_{K}

z*dm ; mit dm=\rho*dV
Gruss ledum

Mr-Un aktiv_icon

14:59 Uhr, 15.08.2015

Danke für deine Antwort, aber mir ging es nicht um den Lösungsweg, diesen habe ich ja bereits. Brauche Aufklärung warum es so ist, wie ich es ja vorher und entsprechende Zeilen mit "Fragen" angedeutet habe.

anonymous

15:33 Uhr, 15.08.2015

Eine anschauliche Begründung könnte sein:
wenn wir uns den Kegel mal waagrecht aufs Papier skizzieren und in der Kegelspitze ein Drehlager vorstellen, dann will der Kegel doch um dieses Lager, um seine Kegelspitze nach unten kippen.
Um den Kegel statisch in der waagrechten Lage zu halten brauchen wir also ein Drehmoment.
Dieses Drehmoment

M

können wir uns vorstellen als

M =

Gewichtskraft

\cdot

Hebelarm
oder

M = (m \cdot g) \cdot

Hebelarm

Wenn wir die Gesamtmasse

m

und den Schwerpunktsabstand

z_{s} (=

Hebelarm) haben, dann ist es also:

M = m \cdot g \cdot z_{s}

Wir können dieses Drehmoment aber auch als Summe aller Drehmomentchen aller Atome betrachten, die den Kegel bilden:

M =

Summe m_atom

\cdot g \cdot

z_atom

Selbstverständlich ist das Drehmoment der einen Betrachtungsweise gleich dem Drehmoment der anderen Betrachtungsweise:

M = m \cdot g \cdot z_{s} =

Summe m_atom

\cdot g \cdot

z_atom
Die Gleichung können wir durch

g

m \cdot z_{s} =

Summe m_atom

\cdot

z_atom
und wir können uns klar machen, dass die "Summe aller Atömchen" mathematisch als Integral formuliert wird, wenn wir den Grenzübergang für unendlich kleine Atömchen machen:

m \cdot z_{s} = \int z

*dm . . . . . über das ganze Kegelvolumen

Jetzt teilen wir die Gleichung noch durch die Gesamtmasse:

z_{s} = \frac{1}{m} \cdot \int z

*dm
...und siehe da, das ist die Gleichung, die ledum geschrieben hat, und in (vermutlich) jedem Lehrbuch bzw. Formelsammlung zur Herleitung des Schwerpunkts steht.

Mr-Un aktiv_icon

23:56 Uhr, 15.08.2015

Echt vielen Dank danach war gesucht kann es jetzt wenigstens nachvollziehen und somit das Ganze nicht ausweniglernen, da ich kein Freund des Auswendiglernens bin :-) danke..

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