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Abschätzung für (a+b)^p

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Abschätzung, Binomialkoeffizient, p-Norm

Strassenhandler aktiv_icon

22:31 Uhr, 23.01.2024

Hallo zusammen. Ich sitze derzeit an einem Übungsblatt mit folgender Aufgabe, bei der ich Hilfe benötige:
Sei

0 \leq a < b < \infty

Zeige dass

{(a + b)}^{p} < 2^{p - 1} (a^{p} + b^{p})

für alle

p \in ℕ

gilt.
Ich habe schon den binomischem Lehrsatz für

{(a + b)}^{p}

verwendet und dann a mit

b

ersetzt um dann schließlich auf

{(a + b)}^{p} < 2^{p} b^{p}

zu kommen. Diese Abschätzung ist leider ein bisschen zu grob.
Vielen Dank für eure Antworten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

pivot aktiv_icon

23:13 Uhr, 23.01.2024

Hallo,

verwende die Jensensche Ungleichung, siehe Link.

Hier ist

f (x) = x^{n}

λ_{1} = λ_{2} = \frac{1}{2}, x_{1} = a, x_{2} = b

und zwei Summanden. Ungleichung aufstellen und umstellen.

Gruß
pivot

de.wikipedia.org/wiki/Jensensche_Ungleichung#Satz

HJKweseleit aktiv_icon

23:39 Uhr, 23.01.2024

Für p=1 gilt Gleichheit, das <-Zeichen also nur für p>1.

Vollständige Induktion:

p=1

\Rightarrow (a + b)^{1} = a + b = 2^{0} (a^{1} + b^{1})

Jetzt von p auf p+1:

(a + b)^{p + 1} = (a + b)^{p} (a + b) \leq 2^{p - 1} (a^{b} + b^{p}) (a + b) = 2^{p - 1} (a^{p + 1} + a b^{p} + b a^{p} + b^{p + 1})

= 2^{p - 1} (a^{p + 1} + b^{p + 1}) + 2^{p - 1} (a b^{p} + b a^{p}) = . . .

-----
Einschub:
Setze b=a+x mit x>0, da b>a.
Dann gilt für die letzte Klammer:

(a b^{p} + b a^{p}) = (b - x) b^{p} + (a + x) a^{p} = b^{p + 1} + a^{p + 1} + x (a^{p} - b^{p}) < b^{p + 1} + a^{p + 1},

x (a^{p} - b^{p})

negativ ist und ein negativer Ausdruck weggelassen wird.
----
Fortsetzung:
...

< 2^{p - 1} (a^{p + 1} + b^{p + 1}) + 2^{p - 1} (b^{p + 1} + a^{p + 1}) = 2 \cdot 2^{p - 1} (a^{p + 1} + b^{p + 1}) = 2^{p} (a^{p + 1} + b^{p + 1})

HAL9000

10:13 Uhr, 24.01.2024

Da hier explizit

p \in ℕ

eingeschränkt wurde, ist der elementare Weg über Induktion natürlich Ok.

Der Weg über Jensen (evtl. auch über die verallgemeinerte Mittelungleichung oder auch die Minkowski-Ungleichung) ermöglicht den Beweis sogar für beliebige reelle

p \geq 1

. Aber gut möglich, dass die genannten drei Ungleichungen nicht zu den "erlaubten" Werkzeugen des Fragestellers gehören. ;-)

Strassenhandler aktiv_icon

12:56 Uhr, 24.01.2024

Vielen Dank für die schnelle Antwort . Wie HAL9000 richtig vermutet hat ist der Weg über die Induktion der bessere für mich, da ich sie schon kenne und wir nur gegebene oder bewiesene Sätze benutzen sollen. Ich wünsche euch noch einen schönen Tag,
LT

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