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Abschluss, Folgenkompakt
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: abgeschlossen, Abschluss, folgenkompakt, Funktionalanalysis, Häufungspunkt, Metrik
 
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Folgendes möchte ich beweisen: Es sei ein metrischer Raum und A eine Teilmenge von derart, dass jede Folge in A Häufungspunkt in besitzt. Zeigen Sie, dass der Abschluss von A folgenkompakt ist. Zunächst würde ich gerne wissen, was es bedeutet, wenn jede Folge in A Häufungpunkt in besitzt. Ich hoffe, dass mir das bereits weiterhelfen wird. |
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Warum fragst Du nach Definitionen im Forum? Steht doch alles im Netz. Z.B. hier: de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_H%C3%A4ufungspunkt_einer_Folge |
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Es geht mir darum, dass ich mir das gerne bildlich vorstellen würde, da ich mit dem Beweis überfragt bin |
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Bildlich? Erwartest Du, dass wir hier Bildchen malen? :-O Besser als in dem von mir vorgeschlagenen Artikel wird es Dir hier keiner erklären können. Aber Du hast es doch bestimmt noch nicht gelesen, oder? |
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Sehr nett! Danke für die Vorurteile! Tatsächlich habe ich den Artikel bereits gelesen und war gerade dabei mich zu bedanken, da der mir im hinblick auf die Häufungspunkte weitergeholfen hat. Bilder verlange ich sicherlich nicht, sondern Hilfe auf den Beweis zu kommen! |
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Ich bin nicht nett, ich bin nur gut. ;-) Der Beweis geht relativ einfach. Betrachte den Abschluss von , nimm eine Folge daraus. Du musst beweisen, dass diese Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Das scheint kompliziert zu sein. Was aber, wenn die Folge nicht im Abschluss von , sondern in selber liegen würde? Dann wüssten wir, dass diese Folge eine konvergierende Teilfolge besitzt, mit dem Häufungspunkt als Grenzwert. Und dieser Grenzwert würde im Abschluss von liegen, denn Abschluss ist ja abgeschlossen. Damit haben wir nur das Problem, dass einige Glieder der Folge nicht in , sondern nur in Abschluss von liegen könnten. Das ist aber kein wirkliches Problem. Warum? |
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Da aufgrund der Folgenkompaktheit unser Grenzwert in A liegt? |
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"Da aufgrund der Folgenkompaktheit unser Grenzwert in A liegt?" Nein, liegt er nicht unbedingt. Nur im Abschluss von A. Außerdem müssen wir Folgenkompaktheit noch beweisen. Hast Du zumindest bis hierher verstanden? |
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Ja, ich meine es so weit verstanden zu haben. Auf jeden Fall ergibt es für mich einen Sinn. Dafür danke ich dir schon mal ! |
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Ja, ich meine es so weit verstanden zu haben. Auf jeden Fall ergibt es für mich einen Sinn. Dafür danke ich dir schon mal ! |
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Also, die Ausgangslage: wenn in liegt, dann konvergiert eine Teilfolge davon gegen einen Punkt im Abschluss von . Was müssen wir mit im allgemeinen Fall (liegen nicht in , sondern im Abschluss von ) machen, damit wir diese Ausgangslage ausnutzen können? Das, was wir mit machen würden, müsste mit der Definition vom Abschluss zu tun haben, natürlich. |
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Wir müssten doch jetzt zeigen, dass unser A den Rand enthält, oder ? Entweder habe ich jetzt einen massiven Denkfehler oder ich bin komplett Übermüdet. |
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"Wir müssten doch jetzt zeigen, dass unser A den Rand enthält, oder ?" Nein. Vielleicht übermüdet. Dann bis Morgen. ;-) |
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Tut mir Leid, dass ich mich jetzt erst melde. Also, dass ist doch dann kein Problem da unser Abschluss in unserer Menge enthalten ist. Ich hoffe, dass ich jetzt richtig bin :-) |
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"lso, dass ist doch dann kein Problem da unser Abschluss in unserer Menge enthalten ist. Ich hoffe, dass ich jetzt richtig bin" Nein. Die Menge liegt in ihrem Abschluss, nicht umgekehrt. . Vielleicht hilft Dir ein konkreteres Beispiel. Betrachte - das ist der offene Kreis mit Radius un Zentrum in der Ebene. Was ist ? |
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Also der Abschluss einer Menge ist doch einfach das Innere und der Rand zusammen. Dementsprechend müsste unser Abschluss bei diesem Beispiel der Abschluss x²+y² sein? wo liegt sonst mein Denkfehler? |
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"Also der Abschluss einer Menge ist doch einfach das Innere und der Rand zusammen." Ja. "Dementsprechend müsste unser Abschluss bei diesem Beispiel der Abschluss x²+y² ≤1 sein?" Richtig. Und wie man sieht, liegt Abschluss nicht in der Menge selber. "wo liegt sonst mein Denkfehler?" Welcher? Noch mal: Du musst folgende Aussage beweisen: wenn jede Folge aus eine konvergente (nicht unbedingt in ) Teilfolge besitzt, so besitzt auch jede Folge aus eine konvergente Teilfolge (deren Grenzwert garantiert in liegt). Das hast Du nicht bewiesen, auch keine richtige Idee dazu geäußert. Kleiner Tipp: ohne Dreiecksungleichung kommst Du hier nicht aus. |
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Ich danke wirklich für deine Mühe, aber ich komme einfach nicht drauf. |
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Die Grundidee: zu einer Folge aus existiert eine Folge in aus mit . Wenn konvergiert, so konvergiert auch , und umgekehrt. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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